Modelos simples que exhiben transiciones de fase topológicas

Creo que necesita definir lo que quiere decir con un "estado topológico de la materia", ya que el término se usa de varias maneras no equivalentes. Por ejemplo, el código tórico que mencionas es un tipo de fase topológica muy diferente a los aisladores topológicos. En realidad, se podría argumentar que todos los aisladores topológicos (quizás excepto el Integer Quantum Hall, clase A en la clasificación general) son solo efectos topológicos en lugar de verdaderas fases topológicas, ya que están protegidos por simetrías discretas (inversión de tiempo, partícula-agujero o quiral) . Si estas simetrías se rompen explícita o espontáneamente, el sistema podría convertirse en un aislador trivial.

Pero uno de los modelos de celosía más simples (mucho más simple que el código tórico, pero tampoco tan rico) que conozco es el siguiente modelo de dos bandas (escrito en espacio k)

$H(\mathbf k) = \mathbf d(\mathbf k)\cdot\mathbf{\sigma},$

con$\mathbf d(\mathbf k) = (\sin k_x, \sin k_y, m + \cos k_x + \cos k_y)$y$\mathbf{\sigma} = (\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)$son las matrices de Pauli. Este modelo pertenece a la misma clase topológica que el IQHE, lo que significa que no tiene inversión de tiempo, hueco de partícula o simetría quiral. El espectro está dado por$E(\mathbf k) = \sqrt{\mathbf d(\mathbf k)\cdot\mathbf d(\mathbf k)}$y el modelo se clasifica por el primer número de Chern

$C_1 = \frac 1{4\pi}\int_{T^2}d\mathbf k\;\hat{\mathbf d}\cdot\frac{\partial \hat{\mathbf d}}{\partial k_x}\times\frac{\partial \hat{\mathbf d}}{\partial k_y},$

dónde$T^2$es el toro (que es la topología de la zona de Brillouin) y$\hat{\mathbf d} = \frac{\mathbf d}{|\mathbf d|}$. Al cambiar el parámetro$m$el sistema puede pasar por un punto crítico cuántico, pero esto solo puede suceder si se cierra la brecha de volumen. Entonces resolviendo la ecuacion$E(\mathbf k) = 0$por$m$, se puede ver donde hay transiciones de fase. Luego se puede calcular el número de Chern en los intervalos entre estos puntos críticos y encontrar

$C_1 = 1$por$0 < m < 2$,$C_1 = -1$por$-2 < m < 0$y$C_1 = 0$de lo contrario.

Así, hay tres fases diferentes, una trivial y dos no triviales. En las fases no triviales, el sistema cuantizó la respuesta de Hall y los estados de borde quirales protegidos (que se pueden ver fácilmente colocando bordes a lo largo de un eje y diagonalizando el hamiltoniano en una computadora).

Si se toma el límite del continuo, el modelo se reduce a un hamiltoniano de Dirac masivo de 2+1 dimensiones y creo que se puede llegar a las mismas conclusiones en este límite del continuo, pero la topología entra como una anomalía de paridad.

Se puede encontrar más información aquí: http://arxiv.org/abs/0802.3537 (el modelo se presenta en la sección IIB).

Espero que encuentres esto útil.

Esta es una muy buena pregunta. Permítanme dar un poco de fondo primero.

Durante mucho tiempo, los físicos pensaron que todas las diferentes fases de la materia se describen mediante la ruptura de la simetría . Como resultado, todas las transiciones de fase continuas entre esas fases de ruptura de simetría implican un cambio de simetría.

Ahora sabemos que hay un nuevo tipo de fases de la materia más allá de la ruptura de la simetría: el orden topológico . Entonces deberíamos tener nuevas transiciones de fase continuas entre esas fases ordenadas topológicamente. Esas nuevas transiciones de fase continuas no cambian ninguna simetría (es decir, las dos fases conectadas por la transición tienen la misma simetría). Para tener una intuición acerca de ese nuevo tipo de transición de fase, uno naturalmente pregunta, ¿cuáles son los modelos simples que exhiben transiciones de fase topológicas?

Heidar ha dado un modelo muy bueno y sencillo. Aquí enumeraré algunos trabajos de investigación sobre este tema (no dude en agregar si conoce más trabajos)

• X.-G. Wen y Y.-S. Wu, Phys. Rev. Lett. 70, 1501 (1993).
• W. Chen, MPA Fisher y Y.-S. Wu, Phys. Rev. B 48, 13749 (1993).

Los dos documentos anteriores describen transiciones de fase continuas entre FQH-FQH o FQH-Mott-insultor inducidas por potenciales periódicos.

• N. Leer y D. Verde, Phys. Rev. B 61, 10267 (2000).

El documento describe la transición continua entre superconductores BCS de onda p/onda d fuertes y débiles. El ejemplo de Heidar es similar a este trabajo.

• Xiao-Gang Wen, Phys. Rev. Lett. 84, 3950 (2000). cond-mat/9908394.

El documento describe transiciones continuas entre estados FQH de doble capa inducidos por tunelización y/o acoplamiento entre capas.

• Maissam Barkeshli, Xiao-Gang Wen, Phys.Rev.Lett.105 216804 (2010).

El artículo describe una transición continua entre un estado FQH abeliano y un estado FQH no abeliano inducido por una condensación de anyón.

Me gusta saber más ejemplos de transiciones de fase topológicas.

Los llamados cristales líquidos liotrópicos exhiben varias transiciones topológicas. La topología de un espacio real cambia durante tales transiciones. El más famoso de ellos es la transición a la llamada fase de esponja. Pero también los hay más simples. Por ejemplo, se sabe que las vesículas de lípidos se transforman en una cadena de cuentas (que siguen siendo topológicamente equivalentes a una esfera), pero luego se separan unas de otras (lo que ya es un cambio topológico). Las células vivas a menudo se dividen en vesículas formadas por una parte de la membrana. La transición topológica está involucrada en este proceso.

Sería mucho mejor si especificas qué fenómenos tienes en mente, ya que varias cosas pueden pensarse bajo este nombre general.

Por ejemplo, las transiciones del orden 2.5 se han considerado una vez para explicar las transiciones de Mott en algunos materiales. Allí, la superficie de Fermi sufre la transformación de fase topológica.

Por lo que entiendo, las "fases cuánticas" o las "fases Berry-Pancharatnam" son ejemplos de "fases topológicas". Véase Y Ben-Aryeh 2004 J. Opt. B: Semiclase cuántica. Optar. 6 R1, "Fases topológicas de Berry y Pancharatnam de sistemas atómicos y ópticos", http://arxiv.org/abs/quant-ph/0402003 .

Bajo esta definición de los términos, el ejemplo más simple de fase topológica es la transición de estados bajo transformación unitaria en spin-1/2 para una sola partícula. Esta es la fase Berry o Pancharatnam.

Considere una partícula de espín-1/2 que comienza en un estado de espín (+z). Luego se mide su giro en las direcciones x e y y luego en la dirección z. Si los resultados de estas medidas son que su espín es +x, +y y luego +z, su retorno al caso +z será con una fase cuántica de$\pi/4$como ahora muestro:

Dejar$\sigma_x$,$\sigma_y$, y$\sigma_z$sean las matrices de espín de Pauli. Después$(1+\sigma_x)/2$,$(1+\sigma_y)/2$, y$(1+\sigma_z)/2$son los operadores de proyección para el espín en las direcciones +x, +y y +z. El operador para una partícula que va de espín +z a +x a +y y de vuelta a +z en una serie de medidas es el producto de los operadores de proyección que se pueden simplificar de la siguiente manera:

$(1+\sigma_z)/2\;(1+\sigma_y)/2\;(1+\sigma_x)/2\;(1+\sigma_z)/2 = (e^{i\pi/4}/\sqrt{8})\;(1+\sigma_z)/2$.

Así que si dejamos$|+>$ser girar hacia arriba, entonces tenemos que la amplitud de una partícula que pasa por esta secuencia de estados es:$<+|\; (1+\sigma_z)/2\;(1+\sigma_y)/2\;(1+\sigma_x)/2\;(1+\sigma_z)/2\; |+> = e^{i\pi/4}/\sqrt{8}$.

los$\pi/4$es la fase topológica. los$1/\sqrt{8}$es la reducción en amplitud debido a pasar por las mediciones. He escrito esto de memoria, no es improbable que me haya equivocado de signo. :(

Por cierto, para spin-1/2 y spin-1, la fase topológica viene dada por la mitad del área (en estereorradianes) tallada en la esfera de Bloch por la secuencia de estados. Para el ejemplo anterior, el área tallada es un octante. Este tiene un área de$(4\pi) /8 = \pi/2$, por lo que la fase topológica es$\pi/4$.

Supongo que las transiciones de fase topológicas sobre las que pregunta son la descomposición de un fluido de electrones de Landau donde las fluctuaciones cuánticas son comparables a las fluctuaciones térmicas. Hay un conjunto bastante extenso de publicaciones sobre este tema con metales pesados ​​y puntos críticos cuánticos. Cubrovic ha encontrado paralelos con AdS~CFT en dichos sistemas.