Cuando decimos que el espín del electrón es 1/2, ¿qué significa exactamente, 1/2 de qué?

Question

Cuando decimos que el espín del electrón es 1/2, ¿qué significa exactamente, 1/2 de qué?

matori82

Cuando decimos que el electrón tiene un espín de $\frac{1}{2}$ , ¿es ese el valor del espín total del electrón, o la proyección en el eje z, o el número cuántico de espín?

Cuando decimos "el electrón tiene espín de $\frac{1}{2}\hbar$ ", ¿es ese el valor del giro total o la proyección? Además, a veces la gente dice simplemente "giro 1/2" sin $\hbar$ .

es número cuántico de espín $s$ análoga a la l (momento angular orbital total) o a la $m_s$ (proyección de l).

Estoy confundido porque cuando intento aprender la adición de momeneta angular (por ejemplo, en el acoplamiento jj) donde usamos la fórmula:

\vec{j} = \vec{yo} + \vec{s}

$\vec{j}=\vec{l}+\vec{s}$ para obtener el momento angular total de la partícula y luego sumamos todo en:

\vec{j} = \sum \vec{j}

$\vec{J}=\sum \vec{j}$

Cuál es el $s$ ¿en este contexto? Me refiero a la ecuación: $\vec{j}=\vec{l}+\vec{s}$ ya que lo estamos sumando con $\vec{l}$ entonces debe ser una proyección de giro en el eje z, ¿verdad?

Respuestas (4)

Cuando decimos que el espín del electrón es 1/2, ¿qué significa exactamente, 1/2 de qué?

robar · Answer 1

Cuando decimos que el electrón tiene "la mitad de espín", nos referimos a la mitad del cuanto de momento angular, $\hbar$ . Un buen texto de mecánica cuántica u otra referencia te ayudará a deducir que el operador laplaciano se transforma en coordenadas esféricas como

\begin{aligned} \nabla^{2} & = {(\frac{\partial}{\partial X})}^{2} + {(\frac{\partial}{\partial y})}^{2} + {(\frac{\partial}{\partial z})}^{2} \\ = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} {pecado}^{2} θ} {(\frac{\partial}{\partial θ})}^{2} + \frac{1}{r^{2} pecado ϕ} \frac{\partial}{\partial ϕ} (pecado ϕ \frac{\partial}{\partial θ}) \end{aligned}

$\begin{align} \nabla^2 &= \left(\frac\partial{\partial x}\right)^2 + \left(\frac\partial{\partial y}\right)^2 + \left(\frac\partial{\partial z}\right)^2 \\ &= \frac 1{r^2}\frac\partial{\partial r}\left(r^2\frac\partial{\partial r}\right) + \frac 1{r^2 \sin^2\theta}\left(\frac\partial{\partial\theta}\right)^2 + \frac 1{r^2 \sin\phi}\frac\partial{\partial\phi}\left(\sin\phi\frac\partial{\partial\theta}\right) \end{align}$ Las partes angulares de este operador actúan sobre los armónicos esféricos para dar un valor propio

ℓ (ℓ + 1)

$\ell(\ell+1)$ para entero

ℓ

$\ell$ . Esto significa que la forma efectiva del operador de energía cinética es

\begin{aligned} \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \nabla^{2} & = \frac{ℏ^{2}}{2 metro r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial}{\partial r}) + \frac{ℏ^{2}}{2 metro r^{2}} ℓ (ℓ + 1) \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 &= \frac{\hbar^2}{2mr^2}\frac\partial{\partial r}\left(r^2\frac\partial{\partial r}\right) + \boxed{\frac{\hbar^2}{2mr^2}{\ell(\ell+1)}} \end{align}$ En el límite de grandes

ℓ

$\ell$ , el término en el recuadro es el mismo que la energía cinética orbital para una masa puntual

m

$m$ girando algunos

r

$r$ desde el centro de movimiento con momento angular

L \sim ℓ ℏ

$L\sim\ell\hbar$ .

Este argumento es lo que nos permite decir cosas como " $\hbar$ es el cuanto del momento angular", o "el momento angular viene en bultos, y el tamaño de cada bulto es $\hbar$ ." Desde $\hbar$ es el único cuanto de momento angular, a veces solo contamos cuantos y dejamos la unidad fuera. Lo mismo que cuando alguien te cotiza un precio y te da el valor pero no la moneda ("Quito tu auto de esta grúa por cincuenta y cinco").

El momento angular de giro cae naturalmente fuera de la cuestión de Dirac de una manera sorprendentemente elegante. Obtienes el mismo cuanto, $\hbar$ . Sin embargo, la ecuación de Dirac describe objetos cuyo momento angular intrínseco es $\hbar/2$ . Por lo tanto la proyección $m_s$ del espín del electrón a lo largo de cualquier eje puede ser $\pm\frac12\hbar$ , pero nunca cero.

Creo que esto podría aclarar su búsqueda de orientación sobre las reglas para sumar momentos angulares vectoriales.

Gracias por la completa respuesta. Entonces, para resumir, el "1/2 giro" para el electrón significa que el electrón tiene $\pm\frac{1}{2}\hbar$ proyección de giro a lo largo del eje z mientras que el "giro total" para el electrón es entonces $\frac{\sqrt{3}}{4}\hbar$ . ¿Es esto correcto?
Es correcto decir que el valor propio del operador de espín total $\hat s^2$ es $\frac 34\hbar^2$ . Hay gente que observa que $\frac{\sqrt 3}2 > \frac12$ y use esta relación para "explicar" por qué el espín de los electrones no se puede dirigir completamente a lo largo de un eje, pero como muchos argumentos tan atractivos, hay algunas sutilezas de las que debe tener cuidado. La mejor manera de decirlo es la forma en que la mayoría de la gente lo dice: el electrón tiene espín total $\hbar/2$ , y siempre tiene proyección $\pm\hbar/2$ sobre cualquier eje, y el momento angular en la mecánica cuántica es sutil.
Por ejemplo: dos veces $\sqrt3/2$ es más de 3/2, pero no hay forma de combinar dos electrones para obtener un espín mayor que $\hbar$ .
Estimado @rob, dos electrones admiten estados con el total $S=1$ (un triplete) cuyo $S^2=j(j+1)=2\hbar^2$ , entonces $|\vec S|$ es igual a $\sqrt{2}\hbar$ , contradiciendo su afirmación. De lo contrario, sus citas sobre "explicar" también son inapropiadas; la afirmación puede probarse rigurosamente. El mayor valor propio de $S^2$ que $S_z^2$ implica que el estado no puede ser un estado propio de $S_x,S_z$ con un valor propio que se desvanece, y porque el valor esperado de al menos cualquiera $S_x^2$ o $S_y^2$ es no negativo, el otro también es no negativo debido al principio de incertidumbre de $[S_x,S_z]=-i\hbar S_y$ etc.
A $S_z$ autoestado simplemente es un autoestado de $S_x^2+S_y^2$ con un valor propio distinto de cero, lo que implica que el "eje del ángulo de giro", que depende de las proporciones $S_x/S_z$ etc. - simplemente no puede ser $\theta=0$ . Para spin-1/2, todos los valores de la función de onda de 2 componentes (spinor) son equivalentes, por lo que la prueba para $S_z=\hbar/2$ es suficiente. Dada la fórmula habitual para $\theta$ , uno realmente puede calcular este valor distinto de cero de $\theta$ . Tenemos $\tan^2\theta=2$ así que siempre es $\theta=arctan(2)$ lejos de cualquier eje. No hay un solo eje clásico con este ángulo desde "cualquier eje"; no es ninguna contradicción
@LubošMotl Sus declaraciones son verdaderas y correctas y exactamente la explicación que tenía en mente. Quise decir que no hay forma de combinar dos giros. $hbar/2$ para terminar con un giro más grande que $3\hbar/2$ , que pretendía ser incontrovertible (y correcto, ya que $\sqrt2<3/2$ ). La sutileza es demasiado compleja para que yo la ponga en este cuadro de comentarios.

gentil · Answer 2

Dado un operador de momento angular con componentes $S_1, S_2, S_3$ y relaciones de conmutación $[S_i, S_j] = \sum_k \epsilon_{ijk}S_k$ , dónde $\epsilon_{ijk}$ son constantes de estructura de la $\mathfrak{su}(2)$ álgebra, el operador Casimir $S^2 = S_1^2+S_2^2+S_3^2$ se puede diagonalizar simultáneamente con cualquiera de los componentes originales $S_j$ en sus estados propios $|\psi\rangle$ . Además, se cumple lo siguiente:

S^{2} | ψ ⟩ = ℏ^{2} s (s + 1) | ψ ⟩ S_{j} | ψ ⟩ = ℏ {metro}_{j} | ψ ⟩ .

$S^2|\psi\rangle = \hbar^2 s(s+1)|\psi\rangle \qquad S_j|\psi\rangle = \hbar m_j|\psi\rangle.$ El valor

s

$s$ se dice que es el giro del estado,

m_{j}

$m_j$ siendo su proyección sobre el

j

$j$ -dirección. De acuerdo con las constantes de estructura y las álgebras de Lie, los operadores de momento angular se cierran, diferentes valores de

s

$s$ están permitidos. En el caso de los electrones tenemos

s = 1 / 2

$s=1/2$ .

proyecto de ley n · Answer 3

Para explicar de forma sencilla, sin entrar en detalles de grupos de simetría de rotación, etc.: Cuando se dice $s=1/2$ , o $m_s=1/2$ o $m_s=-1/2$ , estamos especificando un número cuántico que describe cómo se comportan los valores propios de los operadores de espín.

Si especificamos un automercado de los operadores de momento angular de espín $|s,m_s\rangle = |1/2, \pm 1/2\rangle$ , con operadores $\hat{s^2}$ y $\hat{s_z}$ entonces

\hat{s^{2}} | 1 / 2, \pm 1 / 2 ⟩ = \frac{3}{4} ℏ^{2} | 1 / 2, \pm 1 / 2 ⟩ \hat{s_{z}} | 1 / 2, \pm 1 / 2 ⟩ = \pm \frac{1}{2} ℏ | 1 / 2, \pm 1 / 2 ⟩

$\hat{s^2} |1/2, \pm 1/2\rangle = \frac{3}{4} \hbar^2~ |1/2, \pm 1/2\rangle \\ \hat{s_z} |1/2, \pm 1/2\rangle = \pm\frac{1}{2} \hbar~ |1/2, \pm 1/2\rangle$

Cuando se combinan momentos angulares cuantificados, existen reglas de los grupos de simetría que nos ayudan a determinar los números cuánticos permitidos. Los números cuánticos permitidos siguen una regla del triángulo. Supongamos que queremos encontrar los números cuánticos permitidos para un estado resultante de la combinación de dos momentos angulares $|\ell_1, m_{\ell 1}\rangle$ y $|\ell_2, m_{\ell 2}\rangle$ :

ℓ_{1} + ℓ_{2} \geq ℓ_{norte mi w} \geq | ℓ_{1} - ℓ_{2} |

$\ell_1 +\ell_2 \ge \ell_{new} \ge |\ell_1 - \ell_2|$ con pasos enteros entre el mínimo y el máximo, y el número cuántico del componente z simplemente suma:

{metro}_{ℓ norte mi w} = {metro}_{ℓ 1} + {metro}_{ℓ 2}

$m_{\ell \mathrm{new}}=m_{\ell 1}+m_{\ell 2}$ .

Dónde $\ell$ representa cualquier tipo de número cuántico de momento angular (espín, orbital, combinación de espín-órbita, etc.).

david johnson · Answer 4

La explicación es muy sencilla. Basado en el experimento de Stern-Gerlach, el giro de 1/2 simplemente significa que si disparas electrones a través de su aparato... la mitad de los electrones girarán hacia arriba y la otra mitad hacia abajo.

Bienvenido al intercambio de pilas. Su respuesta es por supuesto correcta. Sin embargo, teniendo en cuenta que la pregunta es bastante antigua, me gustaría que publiques solo respuestas que aporten una idea sustancial. Sin embargo, no entiendo por qué otros rechazan la respuesta sin dejar un comentario.
En realidad esto es ambiguo. Si la partícula fuera espín-1, ¿subiría 1/1 de las partículas y bajaría 1/1? ¡Por supuesto que no!

Cuando decimos que el espín del electrón es 1/2, ¿qué significa exactamente, 1/2 de qué?

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