¿En qué se diferencian el acoplamiento LS y JJ si ambos involucran solo la suma de vectores?

La suma de momentos angulares es asociativa en el sentido de que los propios operadores , como operadores, son los mismos, es decir, que los operadores

$$\mathbf J = (\mathbf L_1 + \mathbf L_2) + (\mathbf S_1+\mathbf S_2) = (\mathbf L_1+\mathbf S_1)+(\mathbf L_2+\mathbf S_2)$$ son lo mismo. Sin embargo, cuando nos referimos a la adición de momentos angulares en la mecánica cuántica, nos referimos a mucho más que eso; más específicamente, nos referimos a un proceso de rediagonalización para encontrar los estados propios del operador de momento angular total, y esto no es una operación asociativa.

Al final, los esquemas de acoplamiento LS y JJ tienen el mismo objetivo final: obtener una base propia para$J^2$y$J_z$(y también de$L_1^2$,$L_2^2$,$S_1^2$y$S_2^2$), pero logran más que eso:

• El acoplamiento LS produce una base propia conjunta de$J^2$y$J_z$que también es una base propia de$L^2$y$S^2$.
• El acoplamiento JJ produce una base propia conjunta de$J^2$y$J_z$que también es una base propia de$J_1^2$y$J_2^2$.

La razón por la que esto es posible es que$J^2$y$J_z$viajar con todos$L^2$,$S^2$,$J_1^2$y$J_2^2$. Sin embargo, no son ambos simultáneamente posibles, porque ninguno de los dos$L^2$o$S^2$viaja con cualquiera de$J_1^2$y$J_2^2$.

Para ver esto explícitamente, primero expande el conmutador:

$$\begin{align} [L^2,J_1^2] & = \left[ (\mathbf L_1 + \mathbf L_2)^2 , (\mathbf L_1 + \mathbf S_1)^2 \right] \\ & = \left[ L_1^2 + L_2^2 + 2\mathbf L_1 \cdot\mathbf L_2, L_1^2 + S_1^2 + 2\mathbf L_1 \cdot\mathbf S_1 \right] \\ & = 4 \left[ \mathbf L_1 \cdot\mathbf L_2, \mathbf L_1 \cdot\mathbf S_1 \right] \\ & = 4 \sum_{k,n} \left[ L_{1,k} L_{2,k}, L_{1,n} S_{1,n} \right] \\ & = 4 \sum_{k,n} \left[ L_{1,k}, L_{1,n} \right]L_{2,k} S_{1,n} , \end{align}$$ y aquí está el problema: cada uno de esos cuadrados incluye un montón de términos lineales en los componentes de $\mathbf L_1$a cada lado del conmutador, y esos se apilan en un solo conmutador de los componentes de $\mathbf L_1$con todos los demás componentes de $\mathbf L_1$, y este conmutador no es cero.

(Si tiene mucha curiosidad, el conmutador completo se evalúa como$[L^2,J_1^2] = 4 (\mathbf L_2 \times \mathbf S_1) \cdot \mathbf L_1$.)

Entonces, ¿qué se debe hacer en esta situación? Si estás sumando cuatro momentos angulares como

$$\mathbf J = \mathbf L_1 + \mathbf L_2 + \mathbf S_1+\mathbf S_2,$$ lo que idealmente querría es una base propia conjunta de

• el momento angular total$J^2$y uno de sus componentes,$J_z$,
• todos los (cuadrados de los) momentos angulares individuales,$L_1^2$,$L_2^2$,$S_1^2$y$S_2^2$, así como
• todos los (cuadrados de las) combinaciones intermedias, como$L^2$,$S^2$,$J_1^2$y$J_2^2$, así como los operadores de acoplamiento intermedio como$(\mathbf L+\mathbf S_1)^2$y su calaña.

Los primeros dos objetivos son perfectamente alcanzables pero, debido a que los operadores en el tercer punto no todos conmutan entre sí, debemos elegir un subconjunto finito de dichos operadores para co-diagonalizar con$J^2$y$J_z$. Esta es la elección que está incrustada en la dicotomía entre los acoplamientos LS y JJ.

La secuencia en la que acopla angular simplificará la evaluación de los elementos de la matriz de algún hamiltoniano. Así, por ejemplo, en la construcción de estados de buen momento angular total$L$, es natural acoplar el momento angular individual$\ell_1,\ell_2\ldots$. Por otro lado, para calcular un término de giro-órbita$\vec \ell\cdot \vec s$, es más sencillo trabajar con estados de una sola partícula con buena$j$.

Acoplamiento de momentos angulares no es exactamente una simple suma de vectores . Implica coeficientes algebraicos de Clebsch-Gordan y sumas sobre estados intermedios. Así, por ejemplo, al acoplar dos$s=1/2$gira, los estados$s=1,m=0$y$s=0,m=0$son respectivamente

$$\textstyle\frac{1}{\sqrt{2}}\vert \textstyle\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle \vert\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\rangle \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \vert\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle\vert\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle$$ No basta simplemente con “añadir” las proyecciones $m_1+m_2$ya que los estados correctos involucran sumas sobre estados de partículas individuales. En casos más generales, con decir $\ell_1$y $\ell_2$, los coeficientes delante de los productos no son iguales y normalmente tendrán signos diferentes.

La situación se vuelve aún más compleja con tres o más partículas, ya que puede haber múltiples valores de un momento angular o espín total dado. En el caso de tres spin-$1/2$partícula por ejemplo, los posibles giros totales son$3/2, 1/2$y$1/2$de nuevo. Las reglas para combinar estados y asegurarse de que sean ortogonales son intratables utilizando el modelo vectorial simple y requieren el uso de coeficientes de Clebsch-Gordan y Racah.