Calcular la fuerza entre objetos giratorios

Masas puntuales

Para dos masas puntuales que colisionan el impulso$J$(intercambio de impulso instantáneo) se define mediante la ecuación escalar

$$J = (1+\epsilon)\, \mu\, v_{imp}$$

Dónde:

• $\epsilon$es el coeficiente de restitución.
• $v_{imp} = {\bf n}^\top ( {\bf v}_1-{\bf v}_2)$la velocidad de impacto (velocidad relativa a lo largo de la dirección normal de contacto${\bf n}$).
• $\mu^{-1} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}$o$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}$la masa reducida del sistema. Prefiero el término, la masa efectiva del impacto.

Este impulso tiene una acción igual y opuesta sobre los dos cuerpos. Los cambios en el movimiento descritos por

$$\begin{align} \Delta {\bf v}_1 & = -\frac{J }{m_1} \,{\bf n} \\\Delta {\bf v}_2 & = +\frac{J}{m_2} \,{\bf n} \end{align}$$

Cuerpos rígidos

Ahora suponga que los cuerpos [1] y [2] son ​​cuerpos rígidos extendidos, en lugar de masas puntuales. Están definidas en el momento del impacto por los vectores${\bf c}_1$y${\bf c}_2$para la ubicación del centro de masa en relación con el punto de impacto, y${\rm I}_1$,${\rm I}_2$las matrices de momento de inercia de masa 3 × 3 en el centro de masa (y junto con las coordenadas mundiales).

La ecuación escalar para el impulso es la misma que la masa puntual excepto por la masa efectiva$\mu$teniendo en cuenta las propiedades de inercia también. Esto supone un contacto sin fricción.

$$J = (1+\epsilon) \mu \; v_{imp}$$

Dónde:

• $$\boxed{v_{imp} = {\bf n}^{\top}\left({\bf v}_{1}+{\bf c}_{1}\times{\boldsymbol{\omega}}_{1}-{\bf v}_{2}-{\bf c}_{2}\times{\boldsymbol{\omega}}_{2}\right)}$$ es la velocidad relativa a lo largo de la normal de contacto${\bf n}$.
• $$\boxed{\mu^{-1} = \frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}-{\bf n}^{\top}\left({\bf c}_{1}\times{\rm I}_{1}^{-1}({\bf c}_{1}\times{\bf n})+{\bf c}_{2}\times{\rm I}_{2}^{-1}({\bf c}_{2}\times{\bf n})\right)}$$ es la masa efectiva del impacto.

Así que el efecto de un cuerpo rígido es el término adicional$-{\bf n}^{\top}\left({\bf c}_{i}\times{\rm I}_{i}^{-1}\left({\bf c}_{i}\times{\bf n}\right)\right)$a la inversa de la masa efectiva. Este término termina siendo positivo cuando se expanden los componentes. Entonces, el cuerpo rígido aumentó la masa inversa, ==> reduce la masa efectiva en el punto de impacto.

este impulso$J$cambia el movimiento de los dos cuerpos de acuerdo con las ecuaciones de movimiento

$$\begin{aligned} \Delta {\bf v}_1 &= -\frac{J}{m_1} {\bf n} & \Delta {\boldsymbol \omega}_1 &= {\rm I}_1^{-1} {\bf c}_1 \times J {\bf n} \\ \Delta {\bf v}_2 &= \frac{J}{m_2} {\bf n} & \Delta {\boldsymbol \omega}_2 &= -{\rm I}_2^{-1} {\bf c}_2 \times J {\bf n} \end{aligned}$$

Ejemplo

Una varilla vertical (cuerpo [1]) de longitud$\ell$es impactado por una masa puntual (cuerpo [2]) que se mueve a lo largo del$-x$dirección en el punto final.

Como tenemos una masa puntual${\bf c}_2=0$. Para la barra, el momento de inercia de la masa con respecto a la$z$el eje es${\rm I}_1 = \left[ \matrix{ \ddots & & \\ & \ddots & \\ & & \frac{m_1}{12} \ell^2} \right]$y la ubicación del centro de masa en relación con el punto de contacto es${\bf c}_1 = \pmatrix{0 \\ -\frac{\ell}{2} \\ 0}$. Finalmente, la normal de contacto es${\bf n} = \pmatrix{1 \\ 0 \\ 0}$.

La masa efectiva en el punto de impacto es

$$\mu^{-1}= \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} - \pmatrix{1 \\ 0 \\ 0}^\top \pmatrix{0\\ -\frac{\ell}{2} \\ 0} \times \pmatrix{0 \\ 0 \\ \frac{6}{m_1 \ell}} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} + \frac{3}{m_1}$$

$$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 +4 m_2}$$

Apéndice

Si${\bf v}_1$es la velocidad del centro de masa del cuerpo [1] (${\bf v}_2$del cuerpo [2]), entonces los vectores de velocidad en el punto de impacto A están definidos por

$$\begin{aligned} {\bf v}_1^A & = {\bf v}_1 + {\bf c}_1 \times {\boldsymbol \omega}_1 \\ {\bf v}_2^A & = {\bf v}_2 + {\bf c}_2 \times {\boldsymbol \omega}_2 \end{aligned}$$

La velocidad de impacto se define así como

$$v_{imp} = {\bf n}^\top ({\bf v}_1 + {\bf c}_1 \times {\boldsymbol \omega}_1 - {\bf v}_2 - {\bf c}_2 \times {\boldsymbol \omega}_2)$$

El efecto del impulso$J$a lo largo de${\bf n}$en el punto de impacto se siente como

$$\begin{aligned} \Delta {\bf v}_1 &= -\frac{J}{m_1} {\bf n} & \Delta {\boldsymbol \omega}_1 &= -{\rm I}_1^{-1} (-{\bf c}_1) \times J {\bf n} \\ \Delta {\bf v}_2 &= +\frac{J}{m_2} {\bf n} & \Delta {\boldsymbol \omega}_2 &= +{\rm I}_2^{-1} (-{\bf c}_2) \times J {\bf n} \end{aligned}$$

A su vez, estos cambios en el movimiento del cuerpo modifican el movimiento en el punto de impacto * A como

$$\begin{align} \Delta {\bf v}_1^A & = \Delta {\bf v}_1 + {\bf c}_1 \times \Delta {\boldsymbol \omega}_1 \\ \Delta {\bf v}_2^A & = \Delta {\bf v}_2 + {\bf c}_2 \times \Delta {\boldsymbol \omega}_2 \end{align}$$

La ley del impacto establece que, junto con la normal de contacto, la velocidad de rebote es una fracción de la velocidad del impacto.

$${\bf n}^\top ( {\bf v}_1^A + \Delta {\bf v}_1^A - {\bf v}_2^A -\Delta {\bf v}_2^A) = -\epsilon \; {\bf n}^\top ( {\bf v}_1^A - {\bf v}_2^A )$$

Al mover los movimientos conocidos (antes del impacto) en el lado derecho, obtenemos

$${\bf n}^\top ( \Delta {\bf v}_1^A - \Delta {\bf v}_2^A) = -(1+\epsilon) \; v_{imp}$$

Añade el efecto del impulso.$J$a lo anterior para obtener

$${\bf n}^\top ( \Delta {\bf v}_1 + {\bf c}_1 \times \Delta {\boldsymbol \omega}_1 - \Delta {\bf v}_2 - {\bf c}_2 \times \Delta {\boldsymbol \omega}_2) = -(1+\epsilon) \; v_{imp}$$

$${\bf n}^\top ( -\frac{J}{m_1} {\bf n} - {\bf c}_1 \times {\rm I}_1^{-1} (-{\bf c}_1) \times J {\bf n} - \frac{J}{m_2} {\bf n} - {\bf c}_2 \times {\rm I}_2^{-1} (-{\bf c}_2) \times J {\bf n}) = -(1+\epsilon) \; v_{imp}$$

$${\bf n}^\top ( -\frac{1}{m_1} {\bf n} + {\bf c}_1 \times {\rm I}_1^{-1} {\bf c}_1 \times {\bf n} - \frac{1}{m_2} {\bf n} + {\bf c}_2 \times {\rm I}_2^{-1}( {\bf c}_2 \times {\bf n})) J = -(1+\epsilon) \; v_{imp}$$

$$\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}-{\bf n}^{\top}\left({\bf c}_{1}\times{\rm I}_{1}^{-1}({\bf c}_{1}\times{\bf n})+{\bf c}_{2}\times{\rm I}_{2}^{-1}({\bf c}_{2}\times{\bf n})\right)\right)\,J=(1+\epsilon)\,v_{imp}$$

que se resuelve para$J$

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