En este artículo en el sitio web de The Planetary Society , leí esto sobre las velas solares:
A una tasa de aceleración de 1 milímetro por segundo por segundo (20 veces mayor que la aceleración esperada para Cosmos 1), una vela solar aumentaría su velocidad en aproximadamente 310 kilómetros por hora (195 mph) después de un día, moviéndose 7500 kilómetros (4700 millas) en el proceso. Después de 12 días habrá aumentado su velocidad 3700 kilómetros por hora (2300 mph).
Encuentro estos números bastante asombrosos, ya que abren una variedad de vías en los viajes interestelares.
Ahora sé que esta aceleración no será del todo constante, porque a medida que la nave se aleja del Sol, la fuerza ejercida por la luz disminuye. Este artículo destaca esto al decir:
La fuerza sobre una vela y la aceleración real de la embarcación varían por el inverso del cuadrado de la distancia al sol (a menos que esté cerca del sol), y por el cuadrado del coseno del ángulo entre el vector de fuerza de la vela y el radial desde el sol, entonces
(vela perfecta) y
(vela realista)
He pedido una explicación detallada de esta ecuación en mi pregunta , pero su significado general es que la fuerza de la luz sobre la vela es inversamente proporcional a la distancia entre la vela y el Sol.
Finalmente, este mismo artículo calcula la fuerza de la luz sobre una vela solar a 1 UA del Sol de la siguiente manera:
El momento de un fotón o de un flujo completo está dado por , dónde es el fotón o energía de flujo, es el impulso y es la velocidad de la luz. La presión de radiación solar se calcula sobre un valor de irradiancia (constante solar) de a 1 UA (distancia tierra-sol), revisada en 2011: una vela real tendrá una eficiencia general de alrededor del 90%, alrededor
¿Cómo puedo combinar estos tres factores: la fuerza impartida, la distancia al sol y la aceleración resultante, y derivar una ecuación que dé = velocidad de la embarcación, teniendo en cuenta todos los factores?
ACTUALIZAR para mayor claridad: NO estoy buscando una ecuación diferencial/integrada que realmente calcule la velocidad final a medida que se mueve la nave. Estoy buscando una ecuación con la velocidad en un lado y la fuerza, la distancia y la velocidad inicial, etc. en el otro, una ecuación en la que pueda introducir los valores manualmente para obtener la velocidad en un momento dado . Así que nada de cálculo, por favor, quiero una fórmula de vector de velocidad simple.
Primero, necesitamos una ecuación para la aceleración:
Una cosa a tener en cuenta es que a esta ecuación le falta un factor (las unidades no funcionan). Técnicamente, hay que multiplicar por , de esa manera las unidades se cancelan correctamente.
Suponiendo un ángulo óptimo, entonces:
Dónde es la masa de nuestra sonda. tu citado es de 8,25 µN por metro cuadrado de vela. asi que:
Tendremos que convertir nuestro a para trabajar con esa ecuación de fuerza y hacer que las unidades se cancelen correctamente.
Sin embargo, podemos reescribir esto como:
Dónde es solo una constante basada en el y (habría usado , pero las personas preocupadas podrían confundirlo con la velocidad de la luz).
Esto significa que vamos a tener que lidiar con ecuaciones diferenciales.
asi que
integrar indefinidamente
es una constante aditiva, una vez más, tratando de evitar el uso . Nuestra constante aditiva dependerá de nuestra velocidad inicial en . Si nuestra velocidad inicial es por ejemplo,
Pero variará en función de esa condición inicial.
Entonces tenemos una expresión para según la distancia al Sol. Sin embargo, sospecho que desea una respuesta en términos de tiempo viajado, no de distancia recorrida (si no, hemos terminado).
asi que asi que
Integrar
En este punto es horrible. Intenté hacer una sustitución de arctan pero nada parecía funcionar. Así que lo descargué en Mathematica.
T = (2*Sqrt[p]*Sqrt[p + k/r]*r - k*Log[k + 2*p*r + 2*Sqrt[p]*Sqrt[p + k/r]*r])/ (2*Sqrt[2]*p^(3/2))
En este punto tendrías que resolver para en términos de , , y . Algo que no parece una propuesta divertida. Vuelve a conectar eso en tu ecuación de velocidad para obtener la velocidad como una función del tiempo.
Si alguien ve una manera más fácil de terminar con esa matemática, hágamelo saber. Tal vez alguien más pueda tomarlo desde aquí.
En realidad, básicamente se reduce a como una horrible aproximación.
Esto realmente tiene mucho sentido. Inicialmente vamos a tener algo que parece algo cuadrático, sin embargo, a medida que avanzamos más o menos (realmente dependerá de las constantes), realmente se vuelve más o menos lineal a medida que la aceleración cae a casi cero y solo vamos a una velocidad de crucero.
Google y alejar un poco el gráfico para ver.
Entonces, la distancia es más o menos lineal con el tiempo, y golpea alguna constante, que podemos encontrar mirando la ecuación de velocidad.
Podemos tomar el límite de como va al infinito. Se vuelve
es a lo que nuestra velocidad se aproxima asintóticamente. Usando el valor que se me ocurrió para antes usando las condiciones iniciales.
Una vez es menos de una centésima de hemos alcanzado más o menos nuestra velocidad final (estamos a solo 1/10 de ella).
Asi que
Que resulta estar justo más allá de la distancia orbital de Plutón.
Algo decepcionante. Sin embargo, esto está en línea con la literatura que he leído que muestra que fuera de nuestro sistema solar, las velas solares no son un medio eficiente de propulsión. Por supuesto, esto cambia si tienes algún tipo de sistema láser disparándole.
Jerard Pucket
Vedante Chandra
SF.
usuario10509
Juan Davies