¿Acoplamiento espín-órbita del marco de reposo del protón?

Question

¿Acoplamiento espín-órbita del marco de reposo del protón?

SuperCiocia

Cuando calculamos la interacción espín-órbita en un átomo de hidrógeno, simplemente trabajamos en el marco de referencia del electrón: el protón se mueve y produce un campo magnético con el que interactúa el espín del electrón.

Podemos mostrar aquí que la respuesta es

Δ H = \frac{2 m_{B}}{ℏ {metro}_{mi} mi C^{2}} \frac{1}{r} \frac{\partial tu (r)}{\partial r} L \cdot S

$\Delta H = \frac{2\mu_B}{\hbar m_e e c^2}\frac{1}{r}\frac{\partial U(r)}{\partial r} \mathbf{L} \cdot\mathbf{S}$ dónde

U (r)

$U(r)$ es la energía potencial =

e V (r)

$eV(r)$ con

V (r) = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{e}{r}

$V(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e}{r}$ por un protón.

AHORA: quiero obtener la misma respuesta del marco de referencia del protón , donde el protón está estacionario y el electrón se mueve. Dado que la Física debe ser la misma en todos los marcos de referencia, deberíamos obtener la misma respuesta.

Supongo que la única forma en que esto puede suceder es si el campo magnético del electrón (debido a su movimiento, es decir, una partícula cargada que se mueve) interactúa con el propio giro del electrón.

Podemos calcular la densidad de corriente $\mathbf{j}$ del electrón en el Hidrógeno, y viene dado por:

j_{ϕ} = - mi \frac{ℏ metro}{m r pecado θ} {| ψ_{norte yo metro} (r, θ, ϕ) |}^{2}

$j_\phi=-e\frac{\hbar m}{\mu r\sin\theta}\left|\psi_{nlm}\left(r,\theta,\phi\right)\right|^2$ ( derivación encontrada aquí en la página 6)

Podría usar la ley de Biot-Savart para calcular el campo magnético debido a esta densidad de corriente:

B = \frac{m_{0}}{4 π} \frac{1}{r^{2}} \int j d^{3} r

$\textbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{1}{r^2} \int \textbf{J}d^3\textbf{r}$ donde la integración debería ser (al menos clásicamente) a lo largo del ciclo actual.

Aquí, me quedo atascado.

alguien sabe como conseguir el $\textbf{L}\cdot\textbf{S}$ factor de este enfoque?

Emilio Pisanty

Relacionado: La interacción espín-órbita para un dipolo magnético clásico que se mueve en un campo eléctrico .

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¿Acoplamiento espín-órbita del marco de reposo del protón?

Relacionado: La interacción espín-órbita para un dipolo magnético clásico que se mueve en un campo eléctrico .

Jordán · Answer 1

El problema aquí es que estás mirando el campo magnético. $\textit{at the proton}$ . Con este enfoque, no puede derivar el acoplamiento de giro-órbita que desea. Debido a la simetría del sistema, se esperaría que los campos magnéticos en cada partícula tuvieran la misma magnitud, pero la energía del acoplamiento espín-órbita proviene de la $\textit{electron's}$ espín interactuando con el campo magnético. Por lo general, la autointeracción no se incluye en estos cálculos. Lo importante a tener en cuenta es que desde el marco de reposo del núcleo no hay campo magnético debido al núcleo, ignorando las contribuciones del momento magnético nuclear. De hecho, estás muy, muy cerca de otra parte del espectro del hidrógeno, que es la estructura hiperfina. Habrá otra contribución a la energía del átomo de hidrógeno debido a la interacción del espín nuclear con el campo magnético del electrón. En el caso de la estructura hiperfina, también debe considerar el campo magnético causado por el espín del electrón. $\vec{\mu} \propto \vec{S}$ , que, una vez combinado con el cálculo que está realizando, producirá otra perturbación en el hamiltoniano $\propto \vec{I} \cdot \vec{J}$ . Para resolver su problema, creo que necesitaría usar la ecuación de Dirac.

pero ¿no debería la Física ser la misma en todos los marcos de referencia?
Absolutamente, y la implementación adecuada de eso es la ecuación de Dirac. Se puede resolver exactamente para el átomo de hidrógeno y ordenar $\alpha^4$ sus valores propios concuerdan con las correcciones de la ecuación de Schrödinger. Creo que el problema aquí es que un campo eléctrico que se transforma en un campo magnético es un efecto relativista, mientras que la ecuación de Scrödinger no es relativista. (Tiene dos derivadas espaciales pero solo una derivada temporal, las ecuaciones relativistas deben tener el mismo número de derivadas espaciales y temporales).
Haciéndolo a partir de la ecuación de Dirac también encuentras que $g =2$ , mientras que de lo contrario esto tiene que ser escrito a mano y es ininteligible.
Robin gracias por tu respuesta. Dices que las ecuaciones relativistas deben tener el mismo número de derivadas espaciales y temporales, ¿por qué?
En la relatividad especial, el espacio y el tiempo se tratan en pie de igualdad, y al pasar de la física prerrelativista a la relatividad especial, el gradiente espacial $\vec{\nabla}$ es ascendido a $\partial/\partial x^{\mu} = (\partial/\partial t, \partial/\partial x, \partial/\partial y, \partial/\partial z)$

guillefix · Answer 2

Creo que esta es una muy buena pregunta, y una que desafortunadamente no he encontrado abordada al aprender sobre este tema, y creo que evitarla diciendo que necesita la ecuación de Dirac descuida que la pregunta se puede interpretar de manera clásica. Entonces, sí, necesitamos la relatividad, pero no deberíamos necesitar la mecánica cuántica para comprender este efecto.

Para entender de dónde viene esto, lo primero es sustituir el espín del electrón por un dipolo magnético clásico (porque el espín es mecánico cuántico). Un dipolo magnético clásico es equivalente a un bucle de corriente muy pequeño.

Ahora, deberá comprender un poco de relatividad especial para el siguiente paso. Todo esto está muy bien explicado en Wikipedia y en un vídeo de Veritasium . Si entiendes eso, puedes entender esto. En el marco de reposo del dipolo (electrón) es solo un bucle de corriente normal. Sin embargo, en el marco de reposo del protón, la contracción de Lorentz hace que las densidades de las cargas positivas y negativas en el bucle de alambre cambien de tal manera que cause un par neto en el marco de reposo del protón, equivalente al del dipolo ( marco de electrones).

Ahora, de hecho, se necesita la ecuación de Dirac para explicar lo que realmente sucede en un átomo. Pero este efecto no necesita la ecuación de Dirac para que ocurra, ya que de hecho se sigue del principio de relatividad, satisfecho también por la mecánica clásica.

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