Intuitivamente, ¿por qué la disminución de energía del estado singlete es tres veces mayor que el aumento de energía del estado triplete (corrección hiperfina)?

Question

Intuitivamente, ¿por qué la disminución de energía del estado singlete es tres veces mayor que el aumento de energía del estado triplete (corrección hiperfina)?

elhombrecuantico

Siguiendo la sección de división hiperfina de Griffith para el átomo de hidrógeno, concluye que la disminución de energía para la configuración singlete es 3 veces mayor que el aumento de energía para la configuración triplete. Si bien puedo entender las matemáticas de esto, no puedo ver a través de él; No sé cómo explicarlo físicamente. ¿Por qué la configuración singlete tendría una corrección 3 veces mayor al espectro de energía que una configuración triplete?

^{[Modificado de Griffiths, Introducción a la mecánica cuántica (2ª edición)]}

Creo que el origen de la respuesta está en la pregunta más general (no necesariamente relacionada con el átomo de hidrógeno y la división hiperfina):

En el caso de la interacción espín-espín entre dos fermiones ( $s=\frac{1}{2}$ ) el operador $\vec{\sigma}_{1}\cdot\vec{\sigma}_{2}$ ( $1$ y $2$ que denota cada fermión respectivamente), ¿por qué el estado singlete tiene un valor propio $-3$ veces el valor propio del estado triplete? Nuevamente, las matemáticas son claras para mí, solo busco verlas intuitivamente.

Respuestas (1)

Intuitivamente, ¿por qué la disminución de energía del estado singlete es tres veces mayor que el aumento de energía del estado triplete (corrección hiperfina)?

RC Drost · Answer 1

Si quieres, puedes razonar que es porque hay tres posibilidades para el triplete pero solo una para el singlete. La mecánica cuántica tiene que dividir el valor propio del triplete entre tres vectores propios, mientras que el valor propio del singlete pertenece completamente al vector propio del singlete.

Por qué creo que las cosas pueden ser confusas

Cuando dices "las matemáticas son claras", asumo que te refieres al siguiente argumento estándar: considera $\|\vec\sigma_1 + \vec\sigma_2\|^2 = \|\vec\sigma_1\|^2 + 2~ \vec \sigma_1\cdot\vec\sigma_2 + \|\vec\sigma_2\|^2$ , lo sabemos $\sigma^2$ los valores propios van como $\hbar^2 \ell(\ell + 1)$ por lo que debemos esperar:

⟨ {\vec{σ}}_{1} \cdot {\vec{σ}}_{2} ⟩ = \frac{ℏ^{2}}{2} (s_{12} (s_{12} + 1) - s_{1} (s_{1} + 1) - s_{2} (s_{2} + 1)),

$\langle \vec \sigma_1\cdot\vec\sigma_2\rangle = \frac{\hbar^2}{2}\Big(s_{12}(s_{12} + 1) -s_1(s_1 + 1) - s_2(s_2 + 1)\Big),$ y usando eso ambos

s_{1, 2}

$s_{1,2}$ son

1 / 2

$1/2$ da

⟨ {\vec{σ}}_{1} \cdot {\vec{σ}}_{2} ⟩ = ℏ^{2} (\frac{s_{12} (s_{12} + 1)}{2} - \frac{3}{4}),

$\langle \vec \sigma_1\cdot\vec\sigma_2\rangle = \hbar^2\Big(\frac{s_{12}(s_{12} + 1)}2 - \frac34\Big),$ así que o bien vemos

1 - 3 / 4 = + 1 / 4

$1 - 3/4 = +1/4$ o

0 - 3 / 4 = - 3 / 4

$0 - 3/4 = -3/4$ para estos dos. ¿Es eso correcto? ¡Entonces sí, ciertamente puedo ver por qué esta expresión parece surgir de la nada!

Ahora estamos pensando con matrices de portales .

Una forma alternativa de entender esto es observar la representación matricial; usando las matrices de Pauli y el producto de Kronecker, este producto escalar es simplemente

\begin{aligned} σ_{X} \otimes σ_{X} & + σ_{y} \otimes σ_{y} + σ_{z} \otimes σ_{z} \\ = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] . \end{aligned}

$\begin{align}\sigma_x\otimes\sigma_x &+ \sigma_y\otimes\sigma_y + \sigma_z\otimes\sigma_z \\&= \begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&0&0&-1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\-1&0&0&0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&2&0\\0&2&-1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}.\end{align}$ donde la superposición

a | ↑↑ ⟩ + b | ↑↓ ⟩ + c | ↓↑ ⟩ + d | ↓↓ ⟩

$a|\uparrow\uparrow\rangle + b|\uparrow\downarrow\rangle + c |\downarrow\uparrow\rangle + d|\downarrow\downarrow\rangle$ se convierte en el vector columna

[a b c d]^{T}

$[a~~b~~c~~d]^T$ . Y probablemente puedas diagonalizar esto mientras duermes y ver los cuatro valores propios

1, 1, 1, - 3,

$1, 1, 1, -3,$ con los cuatro vectores propios

| ↑↑ ⟩, | ↓↓ ⟩, | ↑↓ ⟩ + | ↓↑ ⟩, | ↑↓ ⟩ - | ↓↑ ⟩ .

| \to ⟩ = \sqrt{1 / 2} (| ↑ ⟩ + | ↓ ⟩)

$|\rightarrow\rangle = \sqrt{1/2}\big( |\uparrow\rangle + |\downarrow\rangle\big)$ en nuestras coordenadas entonces

| \to\to ⟩,

$|\rightarrow \rightarrow\rangle,$ que obviamente es "giro-1", debe ser una superposición de estos "obviamente giro-1"

| ↑↑ ⟩, | ↓↓ ⟩

$|\uparrow\uparrow\rangle,~~|\downarrow\downarrow\rangle$ más ese término medio, por lo que es mejor que ese término medio sea "obviamente spin-1", también.

Entonces, la degeneración triplete/singlete proviene de estas reglas de mecánica cuántica de muy bajo nivel que dicen que cuando una partícula está totalmente "girando hacia arriba", eso significa que es mitad "giro a la izquierda", mitad "giro a la derecha" y mitad "giro a la derecha". adelante" y la mitad "girando hacia atrás" porque su momento angular total al cuadrado $\hbar^2~\ell(\ell + 1)$ es mayor que su momento angular en su dirección principal $\hbar~m.$ Además de decir que una superposición de un electrón de giro hacia arriba y hacia abajo nos da todas las direcciones de la esfera, esto también vuelve a decir que las cuatro superposiciones de dos electrones tienen 3 estados donde los giros se alinean, y un estado donde los giros se oponen. No puedo obtener mucho más fundamental que eso en estos operadores de espín porque son intrínsecamente difíciles de visualizar concretamente, ¡esa es una parte de por qué QM es difícil!

Tracería como brujería

Bien, ahora volvamos a mi respuesta prevista: este "estado singlete" de giro antiparalelo es 3 veces más fuerte en valor propio que los estados de giro paralelo. Obviamente, puedes ver esto por ti mismo arriba: pero dije que eso se debe a que tienes que distribuir el valor propio de manera uniforme entre los tres estados de espín paralelo; ¿Qué diablos significa eso?

Bueno, algo así como el 80% de la mecánica cuántica es álgebra lineal con sombreros divertidos, por lo que ahora los invitaré a recordar este concepto de trazo del álgebra lineal, donde ambos descubrimos que el trazo tiene leyes de linealidad y permutividad cíclica; por lo tanto, es el mismo para todas las matrices similares: y por lo tanto, sorprendentemente, la traza es la suma de los valores propios . Dado que un vector propio de un producto de Kronecker $A\otimes B$ va a ser un vector $|\lambda_A,\lambda_B\rangle$ vas a obtener todos los emparejamientos, así que en realidad el rastro de $A \otimes B$ va a ser la huella de $A$ veces el rastro de $B$ .

Bueno, todas las matrices de Pauli están libres de trazas, y eso es un simple resultado de la simetría de paridad en nuestro mundo, la suposición de que las cosas no giran más en ninguna dimensión que en la dirección opuesta, por lo que todos los valores propios vienen como $\pm \lambda$ pares Como resultado, todas estas matrices $\sigma_i\otimes\sigma_i$ también están libres de rastros, por lo que su suma $\vec\sigma_1\cdot\vec\sigma_2$ también debe estar libre de rastros.

Ahora, ¿cuál es el rastro? Aquí es una suma

Tr X = ⟨ ↑↑ | X | ↑↑ ⟩ + ⟨ ↑↓ | X | ↑↓ ⟩ + ⟨ ↓↑ | X | ↓↑ ⟩ + ⟨ ↓↓ | X | ↓↓ ⟩,

$\operatorname{Tr} X=\langle \uparrow\uparrow|X|\uparrow\uparrow\rangle + \langle \uparrow\downarrow|X|\uparrow\downarrow\rangle + \langle \downarrow\uparrow|X|\downarrow\uparrow\rangle + \langle \downarrow\downarrow|X|\downarrow\downarrow\rangle,$ que si se divide por 4, es solo el valor esperado de "Voy a lanzar 2 monedas y elegir una configuración de giro arbitraria mediante ese mecanismo, y atascar el sistema en esa configuración de giro correspondiente".

El aspecto libre de rastros de este $\vec\sigma_1\cdot\vec\sigma_2$ el operador realmente está diciendo, "esta modificación del hamiltoniano debe desaparecer en promedio cuando realizamos ese procedimiento de elegir la configuración de giro al azar", y puede ver que tiene que hacer eso, este es el tipo de término que no tiene una direccionalidad real. Pero el hecho de que la traza sea independiente de la base significa que ahora puede llevar este razonamiento al caso del singlete/triplete: "si elijo una de estas 4 configuraciones al azar, debo recuperar en promedio solo la energía del nivel: sin embargo esto perturba esa energía, tiene que promediar".

Y en ese sentido, los 3 niveles que ven un aumento de energía $+\epsilon$ debe corresponder con el que tiene una disminución de energía $-3\epsilon$ de modo que si elige una configuración de espín al azar, obtiene un cambio de energía promedio de 0.

Wow, realmente gran respuesta! Su sección "Ahora estamos pensando con matrices" respondió esencialmente a mi pregunta. Sin embargo, me preguntaba si también podemos explicarlo haciendo una analogía con el caso del acoplamiento de espín con un campo magnético (que fue la primera forma en que traté de explicarlo). En particular, pensé que dado que cada partícula con giro es un pequeño dipolo magnético, pensé que podría pensar en el segundo electrón como acoplado al campo magnético del dipolo magnético (primer electrón debido a su giro).
Básicamente traté de estirar la analogía anterior para explicar matemáticamente lo que escribiste en tu primera sección. Más precisamente, pensé en el caso de giro antiparalelo que tiene una energía análoga a la $-\frac{3}{4}$ (vea los números al final de su primera sección) y necesitamos darle una energía análoga a la $1$ para combatir el acoplamiento con el campo magnético y llevarlo a un estado de espín paralelo con energía análoga a la $\frac{1}{4}$ .
También me encantaría que pudieras traducir lo anterior al lenguaje de las energías. Quiero decir, la respuesta anterior da mucha intuición, pero difícilmente puedo traducirla en energías. Quiero decir, está bien, el valor propio debe dividirse en tres estados de triplete para que el singlete tenga el mayor valor propio, pero ¿por qué esperaríamos físicamente que el estado singlete cambie las energías 3 veces más que un estado triplete?
Je, esa es la parte más fácil: todo esto sucede en un contexto de tratar de entender $\hat H = H_\text{no-spin} + \alpha\vec \sigma_1\cdot\vec\sigma_2,$ y los valores propios del hamiltoniano son los niveles de energía permitidos. Entonces, dado un nivel de energía sin giro, agregamos dos giros. $\frac12$ s al sistema, esperaríamos una degeneración de 4 veces en este nivel de energía si solo miramos $H_\text{no-spin}$ . Pero luego agregamos el acoplamiento espín-espín y esos 4 se convierten en 3 niveles desplazados en un sentido y 1 nivel desplazado en el otro sentido.
Entiendo esto. Pero esta es una explicación que se basa en su respuesta que da una intuición matemática sobre los valores de los valores propios. Sin embargo, ¿no hay una explicación más intuitiva físicamente? (¿tal vez uno basado en mis dos primeros comentarios?)
La única intuición que puedo reunir al respecto proviene de esta materia libre de rastros que no parecía significar nada para ti; es que "dado este término $\alpha \vec\sigma_1\cdot\vec\sigma_2$ es todo lo que estamos usando para el giro, si tuviera que elegir una de las 4 configuraciones de giro clásicamente al azar, y meterla en ese nivel de energía con esta configuración elegida, tendríamos que . "Eso se reduce a una traza sobre los estados de espín en la base ascendente-descendente, pero la traza es independiente de la base, por lo tanto, esto también debe ser válido en la base singlete/triplete.
Reescribí el final de la última sección "tracería como hechicería" para incluir esto, si ayuda. Puede tomar un segundo ver el vínculo entre el seguimiento y la "selección aleatoria uniforme", por ejemplo. Creo que tiene un sentido donde es como un campo magnético, como dices, pero no creo que la división 3/1 tenga una buena interpretación magnética. Realmente tiene una interpretación decente como "esta perturbación no puede cambiar el nivel de energía en promedio".

Intuitivamente, ¿por qué la disminución de energía del estado singlete es tres veces mayor que el aumento de energía del estado triplete (corrección hiperfina)?

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Por qué creo que las cosas pueden ser confusas

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