¿Cómo nos dice el movimiento orbital de masa reducida cómo se mueven los planetas/estrellas individuales?

Creo que la elección de un conjunto específico de coordenadas está desdibujando un poco la respuesta a su pregunta.

Comencemos desde el principio y sigamos los pasos principales necesarios para llegar a la primera ley de Kepler en la forma de la ecuación (29) en tu figura (la representación polar de una cónica).

La estrategia usual es escribir la ecuación de movimientos para dos masas puntuales$m_1$y$m_2$en un marco de referencia inercial:

$$\begin{align} m_1 {\bf \ddot r}_1 &= G\frac{m_1 m_2}{|{\bf r}_2-{\bf r}_1|^3}({\bf r}_2-{\bf r}_1)\\ m_1 {\bf \ddot r}_2 &= G\frac{m_1 m_2}{|{\bf r}_2-{\bf r}_1|^3}({\bf r}_1-{\bf r}_2) \end{align}$$

Resulta que en términos de las siguientes nuevas variables las ecuaciones son más simples:

$$\begin{align} {\bf r} &= {\bf r}_2-{\bf r}_1\\ {\bf R} &= \frac{m_1 {\bf r}_1 + m_2 {\bf r}_2 }{m_1+m_2} \end{align}$$ De hecho, obtenemos las siguientes ecuaciones: $$\begin{align} {\bf \ddot R} &= 0 \tag{1}\\ \mu {\bf \ddot r} &= -G\frac{m_1 m_2}{|{\bf r}|^3}{\bf r} \tag{2} \end{align}$$ donde la masa reducida $\mu$Se define como$\frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}$. La interpretación de la ecuación ($1$) es que el centro de masa se mueve con un movimiento rectilíneo uniforme. ecuación ($2$) puede interpretarse como la ecuación de movimiento de un cuerpo de masa$\mu$sujeto a la fuerza debida a la ley gravitacional de Newton. Es la órbita obtenida al resolver la ecuación ($2$) que se muestra en la ecuación ($29$) de su texto.

El cambio inverso de coordenadas:

$$\begin{align} {\bf r}_1 &= {\bf R}-\frac{m_2}{m_1+m_2}{\bf r} \tag{3}\\ {\bf r}_2 &= {\bf R}+\frac{m_1}{m_1+m_2}{\bf r} \tag{4} \end{align}$$ es el ingrediente clave para entender cómo la trayectoria obtenida al resolver la ecuación ($2$) para el vector de posición relativa${\bf r}$se puede traducir en términos de las trayectorias de los dos cuerpos en el marco inercial original.

De hecho, las ecuaciones ($3$) y ($4$) muestran directamente que en cada momento$t$el centro de masa$\bf R$y las dos posiciones${\bf r}_1$y${\bf r}_2$manténgase alineado. Además, la distancia desde el centro de masa es proporcional a la relación entre la masa de cada cuerpo y la masa total.

Por tanto, si resolviendo la ecuación ($2$), obtenemos una elipse descrita por el vector${\bf r}$, tal que el origen del vector está en un foco, ecuaciones ($3$) y ($4$) muestran que cada cuerpo$i$tiene una trayectoria que es una elipse reescalada por el factor$\frac{m_i}{m_1+m_2}$, en relación con lo descrito por${\bf r}$, pero ahora el foco está ocupado por la posición del centro de masa.

Nótese que la introducción de la posición relativa${\bf r}$es algo más que un pasaje puramente matemático. Es consistente con una descripción del problema en un marco de referencia no inercial centrado en uno de los dos cuerpos (cuerpo$1$, con la definición anterior). Curiosamente, la apariencia de la masa reducida se puede obtener como el efecto de escribir la ecuación de movimiento del cuerpo$2$en un marco de referencia no inercial teniendo en cuenta la aceleración del cuerpo$1$debido a la fuerza gravitacional debida al cuerpo$2$. De esta forma, podemos ver más claramente la coexistencia de dos descripciones diferentes de un mismo fenómeno:

1. en un marco de referencia inercial, tenemos dos cuerpos que realizan cada uno un movimiento elíptico con el centro de masa en el foco común.
2. en el marco de referencia no inercial centrado en cada uno de los dos cuerpos, el otro describe una órbita elíptica que tiene el foco en el origen.

Una palabra final de precaución es sobre la descripción geométrica de las órbitas. Mientras que en el caso de los marcos de referencia centrados en uno de los dos cuerpos, hay una descripción única de la órbita como una sección cónica que tiene el otro cuerpo en un foco, en el caso de la descripción en un marco de referencia inercial, es solo en los marcos de referencia donde el centro de masa está en reposo se puede hablar de secciones cónicas. En los marcos de referencia inerciales más generales, la forma de la órbita es la composición de una traslación pura con la trayectoria cónica.

Aquí está la ecuación de una elipse en coordenada polar CUANDO el origen de la coordenada polar está en un punto FOCAL.

$$r(\theta) = \frac{a(1-e^2)}{1+e \cos (\theta)} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Eq.2$$

Esta no es la única manera de escribir la ecuación de una elipse. podríamos haber elegido el centro de la coordenada polar para estar en el centro de una elipse, entonces

$$r(\theta) = \frac{b}{\sqrt{1-(e \cos (\theta))^2}} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;Eq.1$$

vemos que en nuestras ecuaciones físicas terminamos con la ecuación 1 que nos dice que el origen de la coordenada polar está en un punto focal que era nuestro centro de masa.

Ahora, si desea ver la posición de cada masa, todo lo que tiene que hacer es usar una de las siguientes ecuaciones

$$r(\theta) = \frac{m_1 + m_2}{m_2} r_1(\theta) \\ r(\theta) = -\frac{m_1 + m_2}{m_1} r_2(\theta)$$ .

Puedes ver que cuando solo miras la trayectoria de una masa, todavía tenemos una ecuación similar a la Eq.1. La única diferencia es que se multiplica por un factor.