¿Cómo probar que la suma converge a la integral usando la densidad de estados?

Question

¿Cómo probar que la suma converge a la integral usando la densidad de estados?

Minethlos

Esencialmente, me gustaría probar

\begin{matrix} (1) & \sum_{k} F (k) \to \int F (k) ρ d mi \end{matrix}

$\sum_k f(k) \to \int f(k) \rho dE \tag{1}$

dónde

\begin{matrix} (2) & ρ = \frac{d k}{d mi} \end{matrix}

$\rho = \frac{dk}{dE} \tag{2}$

es la densidad de estados y $k \to \infty$ .

El modelo es que hay un sistema con $k$ niveles de energía con energías $E_k$ . Consideramos un límite con infinitos niveles de energía ( $k \to \infty$ ). Podemos suponer que en este límite $f(k)$ se convierte en una función continua.

Sé que las sumas de Riemann convergen a la integral, por ejemplo

\begin{matrix} (3) & \sum_{i} F (X_{i}) (X_{i + 1} - X_{i}) \to \int F (X) d X \end{matrix}

$\sum_i f(x_i) (x_{i+1} - x_i) \to \int f(x) dx \tag{3}$

para una función suficientemente buena $f(x)$ y la partición elegida correctamente (es decir, $\max(x_{i+1} - x_i) \to 0$ ). Pero no puedo reducir mi ecuación $(1)$ a la definición integral de Riemann.

Kyle Arean-Raines

Hmm, entonces parece que te estás perdiendo un factor de

Δ k

$\Delta k$ en el LHS de (1)?

Conifold

\sum_{k} f (k) Δ k \to \int f (k) d k = \int f (k (E)) \frac{d k}{d E} d E

$\sum_k f(k)\Delta k \to \int f(k)dk=\int f(k(E))\frac{dk}{dE}dE$ por sumas de Riemann y cambio de variables. ¿Me estoy perdiendo de algo?

Respuestas (1)

¿Cómo probar que la suma converge a la integral usando la densidad de estados?

Hmm, entonces parece que te estás perdiendo un factor de $\Delta k$ en el LHS de (1)?
$\sum_k f(k)\Delta k \to \int f(k)dk=\int f(k(E))\frac{dk}{dE}dE$ por sumas de Riemann y cambio de variables. ¿Me estoy perdiendo de algo?

alto · Answer 1

Esencialmente, me gustaría probar
$\begin{matrix} (1) & \sum_{k} F (k) \to \int F (k) ρ d mi \end{matrix}$ $\sum_k f(k) \to \int f(k) \rho dE \tag{1}$ dónde $\begin{matrix} (2) & ρ = \frac{d k}{d mi} \end{matrix}$ $\rho = \frac{dk}{dE} \tag{2}$ es la densidad de estados y $k \to \infty$ .

Como se menciona en los comentarios, debe introducir una medida en el LRS para que las dimensiones funcionen. Para decirlo de otra manera, su $f(k)$ en el LHS no puede ser lo mismo que tu $f(k)$ en el RHS.

Probablemente lo que estás tratando de decir es que tienes alguna función $f_k$ definido para un conjunto discreto de $k$ (p.ej, $k_1$ , $k_2$ , etc), y alguna otra función $f(k)$ definido para una variable continua que tiene los mismos valores que $\frac{f_k}{\delta k}$ cuando se evalúa en los puntos discretos, y donde $\delta k = (k_{i+1}-k_i)$ .

Entonces

\sum_{k} F_{k} = \sum_{k} F (k) d k,

$\sum_k f_k = \sum_k f(k)\delta k\;,$ y ahora solo decimos que f(k) está variando lo suficientemente lento como para que podamos pretender que

δ k

$\delta k$ es pequeña y decir que la suma es aproximadamente igual a la integral.

\sum_{i} F_{k_{i}} = \sum_{i} F (k_{i}) d k \approx \int F (k) d k,

$\sum_i f_{k_i} = \sum_i f(k_i)\delta k \approx \int f(k) dk \;,$

es decir, suponemos que

\int_{w i t h i norte d k o F k_{i}} d k F (k) \approx F (k_{i}) d k

$\int_{\tt{within }\,\, \delta k\,\, \tt{of }\,\, k_i} dk f(k) \approx f(k_i)\delta k$

Luego cambie las variables a $E$ en lugar de $k$ :

\sum_{i} F_{k_{i}} = \sum_{i} F (k_{i}) d k \approx \int F (k) d k = \int F (k (mi)) \frac{d k}{d mi} d mi,

$\sum_i f_{k_i} = \sum_i f(k_i)\delta k \approx \int f(k) dk = \int f(k(E))\frac{dk}{dE}dE\;,$

Usted y los otros comentaristas tenían razón en que faltaba algo. En mi caso en realidad podría considerar $\rho = 1/\Delta E$ porque $f(k)$ era tal que $\rho f(k)$ tiene un límite bien definido como $\Delta E \to 0$ .

¿Cómo probar que la suma converge a la integral usando la densidad de estados?

Minethlos

Kyle Arean-Raines

Conifold

Respuestas (1)

alto

Minethlos

Origen de los operadores en mecánica cuántica

¿Cuáles son las implicaciones para una teoría como la Mecánica Cuántica si las matemáticas sugieren que involucra infinitos más grandes y densos que los reales?

Suma directa de espacios de Hilbert

Significado intuitivo de la forma exponencial de un operador unitario en Mecánica Cuántica

¿Quién introdujo el símbolo de la "daga" como transpuesta conjugada en la mecánica cuántica?

Producto tensorial de los espacios de Hilbert

Espacio de Hilbert Rigged en Mecánica Cuántica y Noción Generalizada de Secuencia

¿Mecánica cuántica en el plató de Cantor?

Función de Green en el Dominio de la Frecuencia

Un libro sobre mecánica cuántica apoyado por las matemáticas de alto nivel.