¿Cómo la maximización de la entropía implica la minimización de la energía? [duplicar]

Question

¿Cómo la maximización de la entropía implica la minimización de la energía? [duplicar]

Shohamsen

Considere el artículo de Wikipedia " https://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_minimum_energy ". dice claramente

Para un sistema aislado con energía fija, la entropía se maximiza .
Para un sistema cerrado con entropía fija, la energía se minimiza .

El problema viene cuando dan una explicación matemática bajo el encabezado "Explicación matemática" (en el mismo artículo). Primero establece que

(\frac{\partial S}{\partial X})_{tu} = 0, (\frac{\partial^{2} S}{\partial X^{2}})_{tu} < 0,

$\bigg(\dfrac{\partial S}{\partial X}\bigg)_U=0,~~\bigg(\dfrac{\partial^2 S}{\partial X^2}\bigg)_U<0,$ en equilibrio para un sistema aislado con energía interna fija. Luego, el artículo usa algo de álgebra para conectar estos términos con

- \frac{1}{T} (\frac{\partial tu}{\partial X})_{S} & - \frac{1}{T} (\frac{\partial^{2} tu}{\partial X^{2}})_{S} respectivamente .

$-\dfrac{1}{T}\bigg(\dfrac{\partial U}{\partial X}\bigg)_S~~\&~~-\dfrac{1}{T}\bigg(\dfrac{\partial^2 U}{\partial X^2}\bigg)_S~~\text{respectively}.$ Esto se utiliza luego para reclamar la minimización de la energía.

Mi confusión es que la maximización de la entropía requiere una energía interna constante (punto 1 anterior). De este modo

\frac{\partial tu}{\partial X} = \frac{\partial {tu}^{2}}{\partial X^{2}} = 0.

$\dfrac{\partial U}{\partial X}=\dfrac{\partial U^2}{\partial X^2}=0.$

La primera igualdad está bien, pero para la minimización de la energía interna, requerimos que la segunda sea positiva y no $0$ .

No estaba al tanto de una conexión, de naturaleza matemática, entre la minimización de la energía interna y la maximización de la entropía, hasta que encontré este documento de Wikipedia. Esto entonces conduce a toda esta confusión. No veo dónde me estoy equivocando. Además, esta es la prueba dada en los libros de termodinámica de RH Swendsen. Cualquier ayuda es muy apreciada.

una mente curiosa

Duplicados relacionados/posibles: physics.stackexchange.com/q/47253/50583 , physics.stackexchange.com/q/338613/50583

Sam

¿Responde esto a tu pregunta? ¿Por qué la naturaleza siempre prefiere baja energía y máxima entropía?

Shohamsen

@Sam Mi duda está relacionada con las matemáticas utilizadas. No tengo ningún problema con la comprensión filosófica/física de la maximización de la entropía y la minimización de la energía.

Shohamsen

@AcuriousMind Mi pregunta no está relacionada con la publicación que marcó. Mi pregunta está relacionada con las matemáticas utilizadas para obtener una equivalencia entre la maximización de la entropía y la minimización de la energía.

giorgiop

Creo que la figura en la primera respuesta aquí physics.stackexchange.com/questions/534173/… debería aclarar el lado matemático de su pregunta.

Shohamsen

@GiorgioP No, no lo hace. Es porque la publicación dice que el sistema tiene una entropía constante y luego afirma que la entropía está aumentando. ¿No viola esto la afirmación de entropía constante? Es el mismo problema que tengo con las matemáticas anteriores (según lo identificado por el autor).

giorgiop

creo que debería Muestra que hay una superficie en el

S, U, X

$S,U,X$ espacio que puede verse como la gráfica de una función de

U, X

$U,X$ o de una función diferente de

S, X

$S,X$ . Dependiendo de qué función esté representada por la misma superficie, nos enfrentamos a un problema de máximo o de mínimo. También aclara la relación con la cantidad que se mantiene constante en la derivada parcial.

Shohamsen

@GiorgioP, si afirma que su figura representa el sistema de interés, entonces para diferentes valores de X, tenemos diferentes valores de U. Por lo tanto, la energía interna del sistema no es constante. Esto significa que no es un sistema aislado con energía interna fija. Esto contrasta con el punto 1 anterior (resaltado). Por el contrario, para diferentes valores de X, la figura tiene S variable y, por lo tanto, no es representativa de un sistema cerrado con entropía constante. Esto contrasta con el punto 2 anterior (resaltado).

giorgiop

@ShohamSen, debes mirar la figura de la manera correcta. Tienes que considerar la línea que da

S

$S$ como una función de

X

$X$ fijo

U

$U$ y la línea que representa

U

$U$ fijo

S

$S$ , siempre en función de

X

$X$ . La primera es la gráfica de una función con un máximo mientras que la segunda es la gráfica que tiene un mínimo al mismo tiempo.

X

$X$ .

Shohamsen

@GiorgioP, sí, creo que puedes tener razón. Gracias.

Respuestas (1)

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Duplicados relacionados/posibles: physics.stackexchange.com/q/47253/50583 , physics.stackexchange.com/q/338613/50583
¿Responde esto a tu pregunta? ¿Por qué la naturaleza siempre prefiere baja energía y máxima entropía?
@Sam Mi duda está relacionada con las matemáticas utilizadas. No tengo ningún problema con la comprensión filosófica/física de la maximización de la entropía y la minimización de la energía.
@AcuriousMind Mi pregunta no está relacionada con la publicación que marcó. Mi pregunta está relacionada con las matemáticas utilizadas para obtener una equivalencia entre la maximización de la entropía y la minimización de la energía.
Creo que la figura en la primera respuesta aquí physics.stackexchange.com/questions/534173/… debería aclarar el lado matemático de su pregunta.
@GiorgioP No, no lo hace. Es porque la publicación dice que el sistema tiene una entropía constante y luego afirma que la entropía está aumentando. ¿No viola esto la afirmación de entropía constante? Es el mismo problema que tengo con las matemáticas anteriores (según lo identificado por el autor).
creo que debería Muestra que hay una superficie en el $S,U,X$ espacio que puede verse como la gráfica de una función de $U,X$ o de una función diferente de $S,X$ . Dependiendo de qué función esté representada por la misma superficie, nos enfrentamos a un problema de máximo o de mínimo. También aclara la relación con la cantidad que se mantiene constante en la derivada parcial.
@GiorgioP, si afirma que su figura representa el sistema de interés, entonces para diferentes valores de X, tenemos diferentes valores de U. Por lo tanto, la energía interna del sistema no es constante. Esto significa que no es un sistema aislado con energía interna fija. Esto contrasta con el punto 1 anterior (resaltado). Por el contrario, para diferentes valores de X, la figura tiene S variable y, por lo tanto, no es representativa de un sistema cerrado con entropía constante. Esto contrasta con el punto 2 anterior (resaltado).
@ShohamSen, debes mirar la figura de la manera correcta. Tienes que considerar la línea que da $S$ como una función de $X$ fijo $U$ y la línea que representa $U$ fijo $S$ , siempre en función de $X$ . La primera es la gráfica de una función con un máximo mientras que la segunda es la gráfica que tiene un mínimo al mismo tiempo. $X$ .

Ignacio · Answer 1

Intentaré responder a esto, aunque no estoy 100% seguro de entender la pregunta, veo que hay cierta confusión con respecto a la derivación del principio de energía mínima, y creo que sé de dónde viene la confusión.

Lo que muestra el artículo es que si la función $S$ tiene un extremo en un punto $(U_0, X_0)$ , por lo que toma el valor $S_0 = S(U_0, X_0)$ entonces la función $U$ tiene un extremo en el punto $(S_0, X_0)$ , por lo que toma el valor $U_0$ . Este extremo es un máximo para la función $S$ pero un mínimo para la función $U$ es un mínimo.

Creo que tu confusión está relacionada con el hecho de que escribir

\frac{\partial S}{\partial X} |_{tu}

$\frac{\partial S}{\partial X} \bigg|_U$ parece implicar de alguna manera que ahora la otra función,

U

$U$ es una constante, y cuando tomas su derivada debería desaparecer, pero este no es el caso, usar esta notación para la derivada solo significa que

S

$S$ se considera como una función de

X

$X$ y

U

$U$ , y no otras variables. Una forma diferente de escribir esto sería:

\frac{\partial S_{tu, X}}{\partial X}

$\frac{\partial S_{U,X}}{\partial X}$ donde los subíndices simplemente indican en función de qué variables está considerando que depende su función. Entonces, usando esta notación, la derivación dice algo así, para la primera derivada:

\frac{\partial S_{tu, X}}{\partial X} = - \frac{\partial S_{tu, X}}{\partial tu} \frac{\partial {tu}_{S, X}}{\partial X} = - T \frac{\partial {tu}_{S, X}}{\partial X}

$\frac{\partial S_{U,X}}{\partial X} = -\frac{\partial S_{U,X}}{\partial U} \frac{\partial U_{S, X}}{\partial X} = - T \frac{\partial U_{S, X}}{\partial X}$ Donde he usado la regla de la cadena cíclica. De esta igualdad se puede ver que los gradientes de ambas funciones están relacionados, de modo que si una tiene un punto crítico la otra también, y en ningún momento he considerado

U

$U$ ser solo una constante.

Editar después del comentario:

Parece que lo que no está claro es que la derivada

\frac{\partial S_{tu, X}}{\partial tu}

$\frac{\partial S_{U, X}}{\partial U}$ no es cero para un valor fijo de energía. Tal vez esta forma de pensar ayudaría:

Si tiene una función $F(x,y) = yx + x^2$ por ejemplo, y tomas la derivada con respecto a x entonces el resultado es

\frac{\partial F_{X, y}}{\partial X} (X, y) = y + 2 X

$\frac{\partial F_{x,y}}{\partial x}(x, y) = y + 2x$ . Digamos ahora que queremos estudiar esta función para un valor fijo de x, a saber

x_{0}

$x_0$ , entonces nuestra función será

F (X_{0}, y) = y X_{0} + X_{0}^{2}

$F(x_0, y) = yx_0 + x^2_0$ y nuestra derivada será

\frac{\partial F_{X, y}}{\partial X} (X_{0}, y) = y + 2 X_{0}

$\frac{\partial F_{x,y}}{\partial x}(x_0, y) = y + 2x_0$ que no es necesariamente igual a cero.

Algo similar sucede cuando quieres estudiar la función $S(U_0, X)$ y su derivada con respecto a $U$ ;

\frac{\partial S_{tu, X}}{\partial tu} ({tu}_{0}, X)

$\frac{\partial S_{U,X}}{\partial U}(U_0, X)$ no es necesariamente igual a cero.

Bueno, la maximización de la entropía es cuando se trata de un sistema con energía constante. Así cuando escribes $\dfrac{\partial S(U, X)}{\partial U}$ , este término debería ser 0, ya que S no cambia con U.\\ PS- He modificado un poco la pregunta. Por favor, avíseme si aún no está claro, también qué puedo hacer para cambiarlo.
@Shoham Sen Agregué alguna explicación para tratar de aclarar por qué esa derivada no es cero
aprecio el ejemplo, aunque realmente no creo que sea una descripción precisa de lo que está pasando. Supongo que mi duda se puede resumir en lo siguiente. Si miro las matemáticas, afirmaría que cada vez que se maximiza la entropía, también se minimiza la energía interna, ya que están relacionadas como tales, ¿no es eso lo que dicen las matemáticas? Sin embargo, el principio de maximización de la entropía afirma que la entropía se maximiza con una energía interna fija. Por lo tanto, la energía no se puede minimizar. PD: gracias por la ayuda, realmente lo aprecio.

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