¿Cómo surgieron los operadores de la mecánica cuántica?

Es una buena pregunta, cómo se podría inventar una teoría tan extraña :-)

En su forma actual, la teoría fue desarrollada por Dirac (físico) y von Neumann (matemático). von Neumann esencialmente desarrolló la teoría del operador matemático que se necesita. Ambos escribieron libros sobre mecánica cuántica que explican la motivación de los operadores. (Puedes preferir un libro u otro dependiendo de tu formación: si eres físico o matemático). Pero ellos le dieron a la teoría su forma final, y la historia es realmente complicada. Para entender algo de historia, recomiendo a van der Waerden, Sources in the history of quantum mechanics , que es una colección de artículos originales, traducidos al inglés, con sus comentarios. Para profundizar en la historia, primero hay que aprender alemán.

(Algunas personas que conocieron a von Neumann dicen que era un extraterrestre, extraterrestre: una mente humana no podría inventar tales cosas).

EDITAR. Como dije, el descubrimiento de la mecánica cuántica es una historia muy larga, y es el resultado de un esfuerzo colectivo. Comienza al menos desde el descubrimiento por Balmer de la fórmula empírica de las líneas espectrales del hidrógeno, que desencadenó todo el proceso. (Pero en realidad la historia se remonta a Newton.) Luego se deben mencionar a Rydberg y Ritz, y Planck y Einstein. Un hito fue la teoría de Bohr, que a veces se denomina "mecánica cuántica antigua". Describe muchos fenómenos correctamente, pero todavía no hay operadores. Luego Heisenberg, Schrödinger, Born, Jordan y Dirac dieron un "salto cuántico", y le dieron la forma más o menos moderna. Los operadores fueron introducidos por Dirac pero sin una justificación matemática rigurosa. Entonces von Neumann desarrolló la teoría matemática rigurosa que se requería.“Una historia de la espectroscopia del siglo XIX” . Cubre el desarrollo de Newton a Bohr. No estoy familiarizado con ninguna exposición de calidad y claridad similar para el período entre Bohr y Heisenberg. El libro de Sommerfeld Atombau und Spektrallinien está cerca de eso, pero él estaba más interesado en explicar el estado actual de la teoría que en la historia.

El giro hacia los operadores se produjo en el artículo de Heisenberg de 1925, y fue un compromiso entre las posiciones adoptadas por Bohr y Born. Bohr quería modificaciones mínimas a la mecánica clásica, como sus reglas de cuantización para el átomo de hidrógeno, mientras que Born quería una nueva mecánica discreta gobernada por ecuaciones en diferencias. La idea de Heisenberg era mantener las ecuaciones de movimiento más o menos clásicas, pero reinterpretar los símbolos en ellas. Esos símbolos representan observables (posición, momento, energía, etc.), y en la dinámica hamiltoniana son funciones de posiciones.$x$y momentos$p$, que forman el espacio de fases. Aplicando esta idea, Heisenberg descubrió que sus símbolos no conmutarían, por ejemplo$xp-px=i\hbar$con la constante de Planck$\hbar$, por lo que no pueden ser números. Un matemático amigo suyo señaló que las matrices no conmutan y podrían satisfacer tales relaciones, y esto dio a la propuesta de Heisenberg su nombre, mecánica de matrices. Excepto que dado que los electrones en un átomo tienen infinitos niveles de energía, estas "matrices" tenían que ser de tamaño infinito.

Aproximadamente al mismo tiempo, Schrödinger estaba trabajando desde una perspectiva diferente, quería reducir los efectos cuánticos a la dinámica de ondas. Entonces representó los estados de los sistemas cuánticos mediante funciones de onda.$\psi$en el espacio de fase y buscó ecuaciones de movimiento. Su idea era que las partículas cuánticas son paquetes de ondas, y originalmente pensó en$|\psi|^2$como densidad de carga, solo más tarde Born lo identificó con densidad de probabilidad. Después de que salió a la luz la mecánica de matrices, Schrödinger se dio cuenta de que necesitaba introducir observables en su imagen, pero no podían ser meros símbolos. Dado que los estados son funciones de onda en el espacio de fase en lugar de sus puntos, los observables no pueden ser funciones de ellos, tienen que actuar sobre funciones de onda como las matrices actúan sobre vectores. Después de algunos experimentos en 1926, se le ocurrió representar la posición mediante un operador de multiplicación.$\psi\mapsto x\psi$, y momento por diferenciación$\psi\mapsto-i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial x}$. La gran pista fue que si pensamos en$x,p$como estos operadores entonces$(xp-px)\psi=i\hbar\,\psi$. Entonces podemos formar otros observables a partir de estos. La energía cinética clásica es$p^2/2m$, reemplazando$p$por su operador obtenemos$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}$de la ecuación de Schrödinger. La energía total de un oscilador clásico es$p^2/2m+kx^2/2$, reemplazando da el hamiltoniano del oscilador cuántico$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{kx^2}2$. Etcétera.

En 1930, Dirac conceptualizó esta imagen en su libro de texto Principios de mecánica cuántica (1930) , donde introdujo la notación bra-ket, entre otras cosas. Luego, von Neumann dio una formulación axiomática basada en la noción de espacio abstracto de Hilbert que él introdujo, y estableció que la matriz y la mecánica ondulatoria estaban hablando de lo mismo de dos maneras diferentes. En la imagen de Schrödinger, los estados se convirtieron en elementos de un espacio de Hilbert, a saber, el espacio$L^2$de funciones cuadradas integrables (onda) en el espacio de posición. Los observables se convirtieron en operadores autoadjuntos en él. Sin embargo, al elegir una base ortonormal en este espacio, los estados se convierten en vectores (infinitos) y los operadores se convierten en matrices (infinitas). Esta es la imagen de Heisenberg.

Hay un hilo relevante en Physics SE ¿Cómo surgieron los operadores? Landsman ofrece un breve resumen de los desarrollos históricos en Between Classical and Quantum . Referencias más completas son Quantum Generations de Kragh y el clásico Conceptual Development of Quantum Mechanics de Jammer .