Dominio de continuidad para el operador de cantidad de movimiento

Lo sentimos, la respuesta a esta pregunta técnica necesita algo de tecnología matemática.

El espacio que buscas es$H^1(\mathbb R)$, el primer espacio de Sobolev Hilbert . Está hecho de las funciones en$L^2(\mathbb R)$admitiendo la primera derivada débil representada por un$L^2$función a su vez.

$H^1(\mathbb R)$es un espacio de Hilbert complejo si está equipado con el producto escalar:

$$\langle \psi| \phi \rangle := \int_{\mathbb R} \overline{\psi}(x) \phi(x) dx + \int_{\mathbb R} \overline{\frac{d\psi}{dx}} \frac{d\phi}{dx} dx\qquad (1)$$ dónde$d/dx$denota la derivada débil (ver más abajo).

Equivalentemente,$H^1(\mathbb R)$puede definirse como el espacio de$L^2$funciones$\psi(x)$cuya transformada de Fourier (-Plancherel)$\hat{\psi}(k)$admitir finito$L^2$norma con respecto a la medida$(1+ k^2) ~ dk$en lugar de lo más simple$dk$.

De hecho, se cumple, donde el producto escalar es el mismo que en (1):

$$\langle \psi| \phi \rangle := \int_{\mathbb R} \overline{\hat{\psi}}(k) \hat{\phi}(k)(1+ k^2) dk \qquad (2)\:.$$

Obviamente también se cumple:$H^1(\mathbb R)\subset L^2(\mathbb R, dx)$

Cumplir con el trabajo en el espacio de Hilbert físicamente sensible$L^2(\mathbb R, dx)$para QM, resulta que$H^1(\mathbb R)$es el dominio natural donde el operador de cantidad de movimiento es autoadjunto (no solo hermitiano o simétrico). Sin embargo, en ese espacio de Hilbert, el operador de cantidad de movimiento, cuya definición correcta es :

$$P = -i \frac{d}{dx}\quad \mbox{in weak sense, and with domain $D(P)= H^1(\mathbb R)$}$$

siempre es ilimitado, es decir, discontinuo.

Entonces, para ver$P$como operador acotado (es decir, continuo) no basta con restringirlo a un dominio apropiado, sino que también hay que cambiar la topología (norma) del dominio , pasando de la del simple$L^2$A la de$H^1(\mathbb R)$. La topología en el codominio sigue siendo la de$L^2$.

NOTA 1 . Una función (medible)$f: \mathbb R \to \mathbb C$se dice que admite derivada débil $\frac{df}{dx}=g$, dónde$g$es otra función (medible), si, para cada$h: \mathbb R \to \mathbb C$de clase$C^\infty$y soportado de forma compacta, se tiene:

$$\int_{\mathbb R} f(x) \frac{dh}{dx} dx = - \int_{\mathbb R} g(x) h(x) dx \:.$$ Por ejemplo$f(x)= |x|$no admite derivada en$x=0$sin embargo admite derivada débil dada por$\mbox{sgn}(x)$. La función de Dirichlet $d(x) = 1$si$x$es racional$d(x)= 0$si$x$no es racional no admite derivada en ninguna parte, pero admite derivada débil dada por la función cero.

NOTA 2 . Si se trata de la partícula en$[0,2\pi]$la situación es análoga. El dominio de autoadjunción de$P$es$H^1((0,2\pi))$y$P$se define como antes. El único cambio es que pasa en el representante de Fourier. uno tiene que usar la serie de Fourier en lugar de la transformada de Fourier. En este caso el$H^1((0,2\pi))$producto escalar se convierte en:

$$\langle \psi | \phi \rangle = \sum_{n \in \mathbb Z} \overline{\psi_n} \phi_n (1+ n^2)\:.$$ En el espacio de Hilbert$H^1((0,2\pi))$como dominio y con valores en$L^2$,$P$es continuo, de lo contrario, es ilimitado como de costumbre.

Lo que sí es cierto en la afirmación de su profesor, es que el conjunto de$C^1$funciones en$[0,2\pi]$con$f(0)= f(2\pi)$está incluido en$H^1((0,2\pi))$.