Agujeros negros en relatividad general: velocidad angular del horizonte

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Agujeros negros en relatividad general: velocidad angular del horizonte

Física
agujeros negros
kerr-métrico
horizonte de eventos
velocidad angular
relatividad general

ricardo

Estaba estudiando Killing horizons in General Relativity y encontré algunas dificultades en el siguiente punto.

En un agujero negro estacionario, axisimétrico y asintóticamente plano, sabemos que existen dos vectores Killing, que son $K=\partial_t$ y $\tilde{K}=\partial_\phi$ . El campo vectorial Killing $\xi$ asociado con un horizonte de eventos Killing de este agujero negro es una combinación de los dos vectores Killing:

ξ = \partial_{t} + Ω_{H} \partial_{ϕ} .

$\begin{equation} \xi=\partial_t + \Omega_H \partial_\phi \,. \end{equation}$ El autor de las notas de la conferencia ahora dice que

Ω_{H}

$\Omega_H$ puede interpretarse como la velocidad angular del agujero negro, en el sentido de que cualquier cuerpo de prueba cae en él, a medida que se acerca al horizonte

r_{+}

$r_+$ , termina circunnavegándolo a esta velocidad angular

\frac{d ϕ}{d t} |_{r \to r_{+}} = Ω_{H} .

$\begin{equation} \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t} \bigg |_{r \to r_+} = \Omega_H \,. \end{equation}$ Mi pregunta es: ¿cómo puedo obtener esta última afirmación de manera rigurosa, a partir de algunas ecuaciones conocidas?

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Agujeros negros en relatividad general: velocidad angular del horizonte

anomalía quiral · Answer 1

Como calentamiento, considere el caso no giratorio $\Omega_H=0$ . Desde la perspectiva de un observador distante, cualquier objeto de prueba puntual que caiga en un agujero negro que no gira parecerá congelarse en el punto donde su línea de tiempo se cruza con el horizonte. El concepto importante aquí es que esto es cierto para cualquier línea de tiempo temporal , ya sea que represente o no una caída libre.

Para un agujero negro en rotación, ocurre lo mismo, pero ahora el punto donde el objeto se congela (desde la perspectiva de un observador distante) gira alrededor del agujero con velocidad angular. $\Omega_H$ .

Para derivar esto, considere el movimiento en el plano ecuatorial por simplicidad. En coordenadas de Boyer-Lindquist $t,\phi,r$ , la métrica fuera de un agujero negro de Kerr está implícita en esta ecuación para el tiempo adecuado del objeto de prueba $\tau$ :

\begin{matrix} (1) & d τ^{2} = \frac{Δ}{r^{2}} (d t - a d ϕ)^{2} - \frac{1}{r^{2}} ((r^{2} + a^{2}) d ϕ - a d t)^{2} - \frac{r^{2}}{Δ} d r^{2} \end{matrix}

$d\tau^2 = \frac{\Delta}{r^2}(dt-a\,d\phi)^2 -\frac{1}{r^2}\big((r^2+a^2)d\phi-a\,dt\big)^2 -\frac{r^2}{\Delta}dr^2 \tag{1}$ con

\begin{matrix} (2) & Δ \equiv r^{2} - 2 METRO r + a^{2} \end{matrix}

$\Delta\equiv r^2-2Mr+a^2 \tag{2}$ dónde

M

$M$ y

a

$a$ son constantes que caracterizan el agujero negro. Esta es la ecuación 12.3.1 en la referencia 1, especializada en movimiento en el plano ecuatorial. El horizonte de sucesos corresponde a

Δ = 0

$\Delta = 0$ . Multiplica ambos lados de la ecuación (1) por

Δ / d t^{2}

$\Delta/dt^2$ y luego sumar los términos negativos a ambos lados para obtener

\begin{matrix} (3) & Δ {\dot{τ}}^{2} + \frac{Δ}{r^{2}} ((r^{2} + a^{2}) \dot{ϕ} - a)^{2} + r^{2} {\dot{r}}^{2} = \frac{Δ^{2}}{r^{2}} (1 - a \dot{ϕ})^{2} \end{matrix}

$\Delta\,\dot\tau^2 +\frac{\Delta}{r^2}\big((r^2+a^2)\dot\phi-a\big)^2 +r^2\,\dot r^2 = \frac{\Delta^2}{r^2}(1-a \dot\phi)^2 \tag{3}$ con

\begin{matrix} (4) & \dot{ϕ} \equiv \frac{d ϕ}{d t} \dot{r} \equiv \frac{d r}{d t} . \end{matrix}

$\dot\phi\equiv\frac{d\phi}{dt} \hspace{2cm} \dot r\equiv\frac{dr}{dt}. \tag{4}$ A medida que el objeto se acerca al horizonte de sucesos (

Δ = 0

$\Delta=0$ ), el lado derecho de (3) tiende a cero, por lo que el lado izquierdo también debe llegar a cero. El lado derecho va a cero como

Δ^{2}

$\Delta^2$ , y como todos los términos del lado izquierdo son positivos, cada uno de ellos debe llegar a cero tan rápido como

Δ^{2}

$\Delta^2$ hace cuando el objeto se acerca al horizonte. El segundo término del lado izquierdo solo tiene un factor de

Δ

$\Delta$ , entonces el otro factor

((r^{2} + a^{2}) \dot{ϕ} - a)^{2}

$((r^2+a^2)\dot\phi-a)^2$ debe ir a cero tan rápido como

Δ

$\Delta$ hace:

\begin{matrix} (5) & \dot{ϕ} \to \frac{a}{r^{2} + a^{2}}, \end{matrix}

$\dot\phi\to\frac{a}{r^2+a^2}, \tag{5}$ donde el

r

$r$ en el lado derecho se evalúa en el horizonte. De acuerdo con la ecuación 12.3.19 en la referencia 1, el lado derecho de (5) es igual a

Ω_{H}

$\Omega_H$ en el horizonte. Esto completa la demostración.

Para simplificar, mostré las ecuaciones para el movimiento en el plano ecuatorial, pero la generalización al movimiento temporal arbitrario es sencilla. Simplemente reemplace la ecuación (1) con la métrica completa de Kerr y luego siga los mismos pasos.

Referencia:

Wald (1984), Relatividad General

Agujeros negros en relatividad general: velocidad angular del horizonte

ricardo

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