El vector Killing χ=∂t+ΩH∂ϕχ=∂t+ΩH∂ϕ\chi=\partial_t+\Omega_H\partial_\phi no parece normal en el horizonte Killing para un Kerr BH

Como se menciona en Spacetime and Geometry de Carroll p. 244, un vector Killing es normal a su horizonte Killing. Con algo de ayuda del otro foro, pude comprobar que esto es cierto. (Para tu información, aquí el Killing horizon Σ de un vector de matanza x está definida por una hipersuperficie nula en la que x es nulo.)

Pero cuando trato de aplicar esta declaración general a un Kerr BH, sucede algo extraño: en un Kerr BH, consideramos un vector Killing

x = ∂ t + Ω H ∂ ϕ ,
dónde Ω H está diseñado para hacer x ser nulo en el horizonte de sucesos,
Σ : r = r H = METRO + METRO 2 − a 2 .
Así que por definición Σ es el horizonte Killing de un vector Killing x . Entonces, de acuerdo con el enunciado general, este x debe ser normal para Σ pero no parece satisfacer esta condición.

Para que quede claro, tenga en cuenta que podemos escribir el vector normal de Σ como

norte m = ∇ m ( r − r H ) = ( 0 , 1 , 0 , 0 ) .
Pero esto norte no es paralelo a x en absoluto. De manera equivalente, vectores tangentes en Σ que es ortogonal a norte no es ortogonal a x . Esto significa x no es normal para Σ ...?!?!

No tengo ni idea en este momento... Si ves lo que está mal aquí, ¡por favor ayúdame con esta tontería!

¿Has probado esto para un Schwarzschild BH? Tiene la misma paradoja, pero es una métrica más simple, por lo que es más fácil encontrar la fuente del problema. el vector ∂ t es temporal para r > r H y espacial para r < r H y ligero para r = r H , por lo que es tangente al horizonte y normal al horizonte. En cambio, las cantidades ∇ m ( r − r H ) son los componentes de una forma única , no un vector, y la "longitud" del vector correspondiente ∂ r es indefinido (infinito) en el horizonte. Para hacer que las cosas estén bien definidas, necesitamos usar diferentes coordenadas, y luego la paradoja desaparece.

Respuestas (1)

Un horizonte Killing es una hipersuperficie nula definida por la desaparición de la norma de un vector Killing k m , eso es k m k m = 0 . Sin embargo, un vector A m es ortogonal a un vector B m si su producto escalar o escalar desaparece, eso es si A m B m = 0 . En ese sentido, un vector nulo es ortogonal a sí mismo.
Creo que la declaración en Spacetime and Geometry de Carroll debe leerse de esa manera.

El vector Killing χ=∂t+ΩH∂ϕχ=∂t+ΩH∂ϕ\chi=\partial_t+\Omega_H\partial_\phi no parece normal en el horizonte Killing para un Kerr BH
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