Área del horizonte de eventos de un agujero negro en rotación

La métrica de Kerr para un agujero negro de masa$M$y momento angular$J = aM$es

$$ds^{2} = - \frac{\Delta(r)}{\rho^{2}}(dt-a\sin^{2}\theta d\phi)^{2} + \frac{\rho^{2}}{\Delta(r)}dr^{2} + \rho^{2} d\theta^{2} + \frac{1}{\rho^{2}}\sin^{2}\theta (adt - (r^{2}+a^{2}) d\phi)^{2},$$

dónde$\Delta(r) = r^{2} + a^{2} - 2Mr$,$\rho^{2} = r^{2} + a^{2} \cos^{2}\theta$y$- M < a < M$.

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El horizonte de sucesos está en$r_{+} = M + \sqrt{M^{2} - a^{2}}$. Esto se obtiene resolviendo la ecuación$\Delta(r) = 0$.

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¿Cómo usas esto para calcular el área del horizonte?

Mi idea es simplificar la métrica para obtener

$$ds^{2} = - \left( \frac{r^{2} + a^{2} - 2Mr - a^{2} \sin^{2}\theta}{r^{2} + a^{2} \cos^{2}\theta} \right) dt^{2} + \left( \frac{r^{2} + a^{2} \cos^{2}\theta}{r^{2} + a^{2} - 2Mr} \right) dr^{2} - \left( \frac{4aMr \sin^{2}\theta}{r^{2} + a^{2} \cos^{2}\theta} \right) dtd\phi + \left( r^{2} + a^{2} \cos^{2}\theta \right) d\theta^{2} + \sin^{2}\theta \left( \frac{(a^{2} + r^{2})^{2} - a^{2} \sin^{2}\theta (a^{2}-2Mr+r^{2}) }{r^{2} + a^{2} \cos^{2}\theta} \right) d\phi^{2}.$$

Entonces, creo que el área del horizonte está dada por

$$A = \int d\theta\ d\phi\ g_{\phi\phi}g_{\theta\theta}|_{r=r_{+}}.$$

¿Me equivoco?