¿La mecánica cuántica relativista (RQM) realmente viola la causalidad?

La diferencia real está en cómo estos enfoques tratan las mediciones.

En la teoría de una sola partícula, su observable son las coordenadas de la partícula$x^i(t)$. medirlos en$t_1$y$t_2$puede conducir a una aparente propagación superlumínica.

En QFT, tu observable es$\phi(x) = \phi(x^{i}, t)$. (Estoy ignorando el hecho de que estas son distribuciones valoradas por operadores). La medición de dos de estos separados por un intervalo similar al espacio no puede conducir a una propagación superlumínica, como muestran más tarde Peskin y Schroder cuando evalúan el conmutador de los campos. No hay paradojas de abuelo aquí.

OP tiene un punto. Por un lado, P&S en la p. 14 argumentan que en el primer RQM cuantificado en el formalismo del operador, el propagador es

$$\begin{align}&\langle {\bf x}_f,\tau_f \mid {\bf x}_i,\tau_i\rangle\cr &~=~ \int_{\mathbb{R}^3} \!\frac{\mathrm{d}^3{\bf p}}{(2\pi\hbar)^3} \exp\left[\frac{i}{\hbar}\left( {\bf p}\cdot \Delta {\bf x} - \Delta \tau \underbrace{\sqrt{{\bf p}^2+m^2}}_{\text{Hamiltonian}}\right)\right]. \end{align}\tag{A}$$

P&S escribe en la pág. 14:

Esta integral se puede evaluar explícitamente en términos de funciones de Bessel. [...] la amplitud de propagación es pequeña pero distinta de cero fuera del cono de luz, y se viola la causalidad.

Ver también esta respuesta Phys.SE. Sin embargo, la normalización de P&S del integrando (A) no es una covariante de Lorentz y, por lo tanto, no es adecuada para RQM. Un análisis covariante de Lorentz más cuidadoso del formalismo de la integral de trayectoria revela que el propagador RQM es$^1$

$$\begin{align}&\langle {\bf x}_f,\tau_f \mid {\bf x}_i,\tau_i\rangle\cr &~=~ \int_{\mathbb{R}^3} \!\frac{\mathrm{d}^3{\bf p}}{(2\pi\hbar)^3}\color{red}{ \frac{\hbar}{2\sqrt{{\bf p}^2+m^2}} }\exp\left[\frac{i}{\hbar}\left( {\bf p}\cdot \Delta {\bf x} - \Delta \tau \underbrace{\sqrt{{\bf p}^2+m^2}}_{\text{Hamiltonian}}\right)\right], \end{align}\tag{B}$$

cf. mi respuesta Phys.SE aquí . Sorprendentemente, ¡la cita anterior de P&S esencialmente todavía se aplica!

Por otro lado, P&S en eq. (2.50) en la pág. 27 encuentra exactamente el mismo propagador (B) en el segundo KG QFT cuantificado . Entonces, OP tiene razón en que RQM aparece en el sector de una partícula de QFT escalar libre.

P&S escribe en la pág. 28:

Entonces, nuevamente encontramos que fuera del cono de luz, la amplitud del propagador se desvanece exponencialmente pero no es cero. Sin embargo, para discutir realmente la causalidad, no deberíamos preguntarnos si las partículas pueden propagarse a lo largo de intervalos similares al espacio, sino si una medición realizada en un punto puede afectar la medición en otro punto cuya separación del primero es similar al espacio.

Y P&S continúa mostrando que el conmutador$[\phi(x),\phi(y)]=0$desaparece fuera del cono de luz, por lo que el KG QFT real es causal.

Un problema para el primer RQM cuantificado (que OP parece muy consciente) es que no describe la creación y aniquilación de partículas per se.

También se aplican las objeciones habituales a la primera RQM cuantificada, como, por ejemplo:

• Las interacciones locales se acoplan a los estados de energía negativos y positivos, por lo que no se pueden descartar los estados de energía negativos.

• Hay estados de energía negativa ilimitados.

• La densidad de probabilidad relativista

  $$\rho ~=~\frac{i\hbar}{2mc^2}\left(\psi^{\ast} \partial_t \psi - \psi \partial_t \psi^{\ast}\right) \tag{C}$$ puede ser negativo!

• Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.

Referencias:

1. ME Peskin y DV Schroeder, Introducción a QFT; pag. 14 + pág. 27

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$^1$Ambos propagadores (A) y (B) satisfacen

$$(\Box_f-m^2)\langle {\bf x}_f,\tau_f \mid {\bf x}_i,\tau_i\rangle~=~0, \qquad \Delta\tau~:=~\tau_f-\tau_i~>~0,\tag{D}$$

pero solo los propagadores (A) satisfacen la normalización

$$\langle {\bf x}_f,\tau_f \mid {\bf x}_i,\tau_i\rangle ~\longrightarrow~\delta^3(\Delta {\bf x}) \quad \text{for} \quad \Delta\tau \to 0^+. \tag{E}$$

El operador que mide si una partícula está en una posición particular$x$es el operador de proyección$\mathcal{O}_x=|x\rangle\langle x|$. Supongamos que tenemos otro operador de proyección$\mathcal{O}_y=|y\rangle \langle y|$. En el cuadro de Heisenberg,$\mathcal{O}_y(t)=U^\dagger(t)\mathcal{O}_yU(t)$. Por lo tanto,

$$[\mathcal{O}_x(t=0),\mathcal{O}_y(t)]=|x\rangle\langle x|U^\dagger|y\rangle \langle y|U-U^\dagger|y\rangle \langle y|U|x\rangle \langle x|.$$ Ahora$\langle y|U|x\rangle$, y su complejo conjugado$\langle x|U^\dagger|y\rangle$, son distintos de cero, como se muestra en Peskin y Schroeder, incluso con la integral covariante discutida en la respuesta de Qmechanic. Desde$|x\rangle\langle y|U$y$U^\dagger|y\rangle\langle x|$no son proporcionales entre sí, los dos términos no pueden cancelarse. Por lo tanto, el conmutador no es cero y una medición realizada en$x$puede efectuar una medición realizada fuera de$x$el cono de luz.