Principio de Pauli para partículas muy separadas entre sí

Aquí hay una respuesta larga que conduce a una medida matemática de la relevancia del principio de Pauli. El estado cuántico de un electrón no solo está determinado por su energía, momentos angulares (cantidades que conducen a números cuánticos buenos o aproximados). La posición también es parte de la ecuación. Ahora, la posición en QM no es solo un vector simple como lo es en la mecánica clásica, está regida por una distribución de probabilidad. Tal distribución de probabilidad puede tener una forma exótica, pero debe satisfacer algunas reglas elementales para las distribuciones de probabilidad [físicamente relevantes]:

1. La probabilidad de que la partícula esté dentro de un volumen dado viene dada por la integral de la distribución de probabilidad sobre ese volumen. Tenga en cuenta que la probabilidad de que la partícula esté en una posición específica es cero (algunos podrían decir que es infinitesimalmente pequeña ).

   Puede ver que esto es cierto al considerar que la cantidad$N$de posiciones en las que podría estar la partícula es infinita (si el espacio es denso, lo cual suponemos que lo es) y te estás preguntando si está en$1$posición particular. La posibilidad de que eso sea cierto es$1/N = 1/\infty = 0$.

2. La probabilidad de que las partículas estén en cualquier lugar debe ser$1$. Podemos decir con un ciento por ciento de certeza que la partícula está en alguna parte . Esto se expresa matemáticamente requiriendo que la integral de la probabilidad sobre todo el volumen sea$1$.

3. La distribución de probabilidad debe tener buen comportamiento. Esto generalmente significa que debe ser continua (no puede tener saltos) y debe desaparecer para argumentos infinitamente grandes (este es un requisito que viene junto con el anterior, ya que una distribución que no desaparece no sería integrable a$1$sobre todo el espacio).

Ahora, en QM la distribución de probabilidad viene dada por el módulo al cuadrado de la función de onda,$|\psi(\vec{r},t)|^2$. Si$\psi(\vec{r},t)$es una función de onda exacta, contiene toda la información sobre la(s) partícula(s) que describe. Supongamos que es exacto y describe el estado del electrón número uno. Además, supongamos que el número de electrones dúo se describe mediante la función de onda exacta$\phi(\vec{r},t)$.

Así que seguramente tenemos dos distribuciones de probabilidad vinculadas a esta situación. Uno de ellos$|\psi(\vec{r},t)|^2$, el otro$|\phi(\vec{r},t)|^2$. Sin embargo, hay otra probabilidad que nos puede interesar: ¿cuál es la probabilidad de que el electrón número dúo esté dentro de cierto volumen, dada la distribución de probabilidad del electrón número uno? Esta es una probabilidad condicional, que podemos calcular como la integral sobre el producto de ambas funciones de onda donde la primera es compleja conjugada:

$$\langle\phi(\vec{r},t)|\psi(\vec{r},t)\rangle = \int_{V}{\phi^*(\vec{r},t)\psi(\vec{r},t) d\vec{r}}$$

He usado la notación convencional para esta probabilidad en el lado izquierdo de la ecuación. El lado derecho a veces se denomina integral de superposición porque el integrando es una medida de la fuerza con la que se superponen ambas funciones de onda. Tenga en cuenta que se convierte en la probabilidad normal para una sola partícula si tomamos la integral de superposición de una función de onda consigo misma.

Esto ayuda a nuestra intuición sobre el principio de Pauli. Si la integral de superposición es$1$, los electrones deben diferir en al menos un número cuántico, por ejemplo, su espín. si esta cerca$1$, es muy poco probable que los electrones se encuentren en el mismo estado. Cuanto más pequeña se vuelve la integral de superposición, menos estrictamente se aplica el principio de exclusión de Pauli. Esto suena extraño porque en su forma bien conocida [dos fermiones idénticos no pueden ocupar el mismo estado cuántico simultáneamente], el principio de Pauli parece muy estricto y parecido a una ley. Pero ese es el problema con la forma conocida.

Ahora, hemos estado asumiendo que las funciones de onda son exactas. Esto habría estado bien si las partículas no tuvieran forma de interactuar entre sí. Sin embargo lo hacen. Así que necesitamos modelar esa interacción. Electron numero uno influye en numero duo y viceversa (poco inglés real en esa oración). Así que ahora trataremos ambos electrones como un solo sistema, descrito por una función de onda abstracta de dos argumentos espaciales$\Psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2,t)$.

Veamos qué pasa si intercambiamos ambos electrones. Esto a veces se representa como si "les hiciéramos cambiar de lugar", lo que hace que parezca que estamos cambiando dos bolitas. Por supuesto, esta es una mala imagen debido a la delicada naturaleza de las posiciones en QM de la que hablamos anteriormente. Una mejor manera de pensarlo es imaginar que cambiamos todos los números cuánticos (en realidad, solo el estado completo, excepto las distribuciones de probabilidad) de ambos electrones. Así que hagamos eso. Denotaremos este cambio como un cambio de los argumentos espaciales que sugiere la primera imagen, pero esto es simplemente para facilitar la notación.

La operación de intercambiar los estados es una permutación, llamaremos al operador que realiza esta tarea$\hat{P}$. El efecto de este operador es claro. Eliminaremos la dependencia del tiempo ya que es intrascendente aquí:

$$\hat{P}\Psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2) = \Psi(\vec{r}_2,\vec{r}_1).$$

La distribución de probabilidad$|\Psi(\vec{r}_2,\vec{r}_1)| = |\Psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2)|$debe permanecer sin cambios por esta operación, por lo que esto debe significar que

$$\Psi(\vec{r}_2,\vec{r}_1) = \text{e}^{i\delta}\Psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2).$$

Además, cambiar los electrones nuevamente debería devolver la función de onda a su forma original, lo que significa que

$$\text{e}^{2i\delta} = 1$$

o

$$\text{e}^{i\delta} = \pm 1.$$

Entonces, esto significa que el acto de "cambiar" los electrones deja la función de onda sin cambios o produce un cambio de signo. Tenga en cuenta que nada en la discusión anterior se basa en el hecho de que estos son electrones que estamos describiendo. Así que esto es válido para dos partículas generales. Ahora, la primera opción (sin cambio de signo al cambiar) está asociada con bosones, la segunda con fermiones. Así que para nuestros electrones ocurre un cambio de signo. Esa es la antisimetría que Oaoa ya destacó en su respuesta. Obtenemos una forma para la función de onda a partir de esta propiedad:

$$\Psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2) = A\left[\psi(\vec{r}_1)\phi(\vec{r}_2)-\psi(\vec{r}_2)\phi(\vec{r}_1)\right]$$

Tenga en cuenta que esta función de onda se anula si$\psi = \phi$, es decir, si los estados de ambos electrones son iguales.

Ahora, utilizando esta función de onda antisimétrica, podemos averiguar cuál es la relación entre el principio de Pauli (o la antisimetría de la función de onda de dos electrones) y la distancia entre los electrones. Para hacer esto, calculemos la distancia promedio al cuadrado entre ellos. Esto viene dado por (supongamos 1D para simplificar la notación)

$$\langle\Psi(x_1,x_2)|(x_1-x_2)^2|\Psi(x_1,x_2)\rangle \equiv \langle(x_1-x_2)^2\rangle = \langle x_1^2\rangle + \langle x_2^2\rangle - 2 \langle x_1x_2\rangle$$

Los valores esperados "sin mezclar" se pueden calcular con bastante facilidad y, por supuesto, son iguales. Juntos rinden

$$\langle x_1^2\rangle + \langle x_2^2\rangle = \langle\psi|x^2|\psi\rangle + \langle\phi|x^2|\phi\rangle.$$

El valor esperado "mixto" produce

$$\langle x_1x_2\rangle = \langle\psi|x|\psi\rangle\langle\phi|x|\phi\rangle - |\langle\psi|x|\phi\rangle|^2.$$

Tenga en cuenta que el segundo término en esto corresponde a la permutación fermiónica$|\psi\rangle \leftrightarrow|\phi\rangle$. Estos resultados producen la siguiente expresión para el valor esperado de la distancia al cuadrado entre los electrones:

$$\langle(x_1-x_2)^2\rangle = \langle\psi|x^2|\psi\rangle + \langle\phi|x^2|\phi\rangle - 2\langle\psi|x|\psi\rangle\langle\phi|x|\phi\rangle + 2|\langle\psi|x|\phi\rangle|^2.$$

¿Qué se puede aprender de esto? Bueno, para partículas distinguibles (digamos un electrón y un muón), que no pueden estar en el mismo estado, obtenemos el mismo valor esperado excepto por el último término . Este término se llama término de intercambio . Parece que los electrones están, en promedio, más alejados entre sí que, digamos, un electrón y un muón. Cuánto más lejos está determinado por el término de intercambio. Tenga en cuenta que el término de intercambio es cero si no hay superposición entre las funciones de onda (los estados son completamente diferentes).

Esto confirma nuestra intuición anterior, solo que ahora tenemos una receta matemática para respaldarla. Podríamos decir que si la distancia media al cuadrado entre los electrones es mucho mayor que el término de intercambio, el principio de Pauli no aporta mucho. Si el término de intercambio es comparable a los otros términos, el principio de Pauli es mucho más estricto.

Entonces, el principio de Pauli dice

• la función de onda de un sistema de partículas idénticas de espín entero tiene el mismo valor cuando se intercambian las posiciones de dos partículas cualesquiera. Las partículas con funciones de onda simétricas bajo intercambio se llaman bosones;

• la función de onda de un sistema de partículas de espín semientero idénticas cambia de signo cuando se intercambian dos partículas. Las partículas con funciones de onda antisimétricas bajo intercambio se denominan fermiones.

de la página de Wikipedia sobre el teorema de la estadística de espín . La declaración anterior implica el principio de exclusión de Pauli , mostraremos cómo.

Entonces, ahora imaginemos que nuestro universo no es más grande que el sistema Tierra-Luna (solo para entender la mercancía). Describamos un electrón, un fermión, un espín.$1/2$partícula, lo que prefieras, en la Tierra con una función de onda dependiente de la posición y el tiempo$\phi_{E}\left(x_{1}\right)$. Por mercancía notaré$x\equiv\left(x,y,z,t\right)$para todos los parámetros espacio-temporales. Lo mismo para el electrón en la Luna, descrito por$\phi_{M}\left(x_{2}\right)$. Índices$1$y$2$son para uso posterior, puedo elegir el marco de referencia que quiero por cierto. Tenga en cuenta que son muy redundantes con los índices$E$y$M$. El principio de exclusión de Pauli establece que la función de onda completa para los dos electrones es

$$\Psi\left(x_{1},x_{2}\right) = \phi_{E}\left(x_{1}\right)\otimes\phi_{M}\left(x_{2}\right)-\phi_{M}\left(x_{1}\right)\otimes\phi_{E}\left(x_{2}\right)$$

donde los índices$E$y$M$ahora no tienen sentido. Dado que el producto tensorial$\otimes$es conmutativo, uno tiene en particular

$$\Psi\left(x_{1}=x_{2}\right) = 0$$

¡Ese es el principio de exclusión de Pauli en acción!

Si tratas de poner palabras en la expresión matemática para$\Psi\left(x_{1},x_{2}\right)$, podría ser:

tomando la función de onda$\phi_{E}$del electrón que identificamos previamente como en la Tierra y la función de onda$\phi_{M}$de los otros electrones que identificamos previamente como en la Luna, y hacerlos intercambiar sus lugares da como resultado un signo opuesto para el producto tensorial$\phi_{E}\otimes\phi_{M}$describiéndolos todos juntos

¿Qué entendemos por índices ?$E$y$M$no tienen sentido? Bueno, si sabes que uno de los electrones está en la Luna mientras que el segundo está en la Tierra, no hay forma de encontrar$\Psi\left(x_{1}=x_{2}\right)$, ya que los dos electrones nunca tendrán la oportunidad de encontrarse. (Espero que la distancia Tierra-Luna haya sido suficiente para convencerte, sino haz eso entre las estrellas que prefieras hasta convencerte...)

El punto clave detrás es que tratamos con partículas imperceptibles , cuando los índices$E$y$M$no tienen ningún sentido físico. Estos índices solo están ahí para dar sentido a$\Psi\left(x_{1},x_{2}\right)$, y definir adecuadamente la antisimetría de la función de onda total.

Una forma realmente más inteligente de pensar sería: si realmente insistes en describir los dos electrones (uno en la Tierra, uno en la Luna) por una función de onda única, entonces esta función de onda$\Psi\left(x_{1},x_{2}\right)$tiene la propiedad

$$\Psi\left(x_{1},x_{2}\right)=-\Psi\left(x_{2},x_{1}\right)$$

y en particular$\Psi\left(x_{1}=x_{2}\right) = 0$y eso es. No hay nada místico detrás. Es una ayuda matemática porque la noción de indistinguibilidad es muy difícil de entender con las manos.

Entonces, ¿cuál es la razón de la antisimetría? Bueno, desde el principio, asumo que uno puede localizar un electrón. Esto no tiene sentido en la mecánica cuántica, que se trata solo de la probabilidad de densidad de encontrar algo en algún lugar a veces, el famoso$\Psi\left(x\right)$. Asi que$\Psi\left(x_{1},x_{2}\right)$se trata de la probabilidad de encontrar un electrón en la posición del espacio-tiempo$x_{1}$ y un segundo electrón en la posición del espacio-tiempo$x_{2}$.

Díganos si tiene una mejor idea para modelar esta cosa :-)

Si puede expresar los dos electrones con una sola función de onda, se aplicará el principio de exclusión de Pauli. Sin embargo, aparte de los sistemas más simples, los electrones interactuarán con su entorno y se entrelazarán con él. Ahora ya no tienes una función de onda de dos electrones, sino una función de onda de dos electrones más el tropecientos de otras partículas con las que han interactuado los electrones. En un sistema tan complejo ya no habrá una simple correlación entre los espines de los electrones.

Para un objeto tan pequeño como un átomo o una molécula, la interacción entre los electrones es mucho mayor que la interacción con el resto del universo. Sin embargo, si intentara construir un sistema de dos electrones de dimensiones macroscópicas, la interacción con el entorno sería dominante y perdería la correlación entre los espines de los electrones.

Los comentarios de Brian Cox son buenos para la televisión, pero solo se aplicarían en sistemas simplificados poco realistas.

Respuesta al comentario:

Creo que podrías estar mezclando ideas sobre el entrelazamiento y el principio de exclusión de Pauli. Si dos electrones, uno en la Tierra y otro en Marte, están entrelazados y hago una medición del electrón en la Tierra, entonces el electrón en Marte se ve afectado instantáneamente. Sin embargo, esto no nos causa ningún problema porque ninguna información se transmite más rápido que la luz. El comportamiento superluminal en realidad se ha medido experimentalmente .