Paradoja con la ley de Gauss cuando el espacio está uniformemente cargado en todas partes

Si siguió los argumentos cuidadosamente y verificó qué es demostrablemente correcto y qué no, estaría de acuerdo en que lo que realmente hace el argumento es probar que una densidad de carga eléctrica uniforme no puede tener un campo eléctrico uniforme. Tu tarea original era resolver las ecuaciones de Maxwell (bueno, la ley de Gauss), así que si descubres que las ecuaciones no se cumplen, significa que no has resuelto el problema que querías resolver o que la solución candidata es equivocado. No puede decir de repente, como sugiere su pregunta, que no importa que las ecuaciones no estén resueltas y que quiera cambiarlas o algo más. Esto sería cambiar las reglas del juego y cambiar las leyes de la física.

En su lugar, podrá encontrar soluciones$\vec E(x,y,z)$que obedecen${\rm div}\,\vec E = \rho/\epsilon_0$. Sin embargo, no es cierto que esto$\vec E(x,y,z)$puede ser traslacionalmente simétrico. En su lugar, debe elegir un origen donde$\vec E = 0$, digamos en$(x,y,z)=(0,0,0)$, y escribe

La misma "paradoja" surge en el caso de la aceleración gravitatoria y la densidad de masa. En el caso no relativista, esta sorprendente falta de uniformidad de$\vec E$, aunque no es una paradoja, sugiere fuertemente que en la escala más larga, la densidad de carga debería ser cero. Y de hecho es el caso de la densidad de carga eléctrica. Para la densidad de masa, no es el caso, aunque el argumento newtoniano aún nos llevaría a concluir que debería ser cierto. Sin embargo, la masa no puede ser negativa y la densidad de energía es positiva. Esto forzaría una violación de la simetría de traslación en un universo newtoniano uniforme. Sin embargo, el universo de Einstein (bueno, FRW) que obedece las leyes de la relatividad general no tiene ningún problema con una densidad de masa positiva general: el Universo simplemente se curva en consecuencia. Nuestro Universo es un ejemplo.

¿Que esta pasando aqui?

Otros han notado esta aparente inconsistencia: ¡La ley de Gauss PROBÓ QUE ES INCORRECTA!

Sospecho que lo que está pasando aquí es que las condiciones de contorno (falta de las apropiadas) no garantizan un campo E único .

Consulte el teorema de unicidad de Wiki para la ecuación de Poisson

Agregar una nueva redacción ligeramente diferente, ya que este es un tema sutil que ha surgido de una forma u otra una y otra vez y otra vez de una forma u otra. El resultado final es el mismo ya sea que estemos considerando la carga eléctrica (que puede tener valores tanto positivos como negativos) o la masa (que, por supuesto, solo puede ser no negativa).

El meollo del problema es tratar de describir las propiedades de un sistema que no está bien definido. Olvídese del equilibrio; una distribución homogénea infinita se topa con problemas de existencia mucho antes de que surja.

Cualquier distribución física de carga (del tipo eléctrico o de masa) debe ser alcanzable en el límite de una secuencia (contable) de distribuciones finitas, para las cuales la física es sólida. Agregue un poco aquí, luego un poco allá. Sin embargo, existen múltiples formas de agregar, por ejemplo, capas de material, de modo que el límite del proceso sea "una distribución infinita y uniforme", y no concuerdan en todos los aspectos.

Considere un punto$\vec{r}$en$\mathbb{R}^3$, donde se elige que el origen esté en otra parte. Considere agregar capas esféricas de carga centradas en el origen, comenzando con las más pequeñas. Los primeros inducirán una aceleración neta de cualquier carga en$\vec{r}$, pero después de un punto las conchas abarcarán$\vec{r}$y así no hará ninguna contribución a la aceleración. Resumiendo, el efecto total es distinto de cero. Sin embargo, una elección diferente del origen, que debería haber sido arbitraria, conduce a un resultado diferente. Las cantidades que desea asociar con la distribución infinita (campo eléctrico, potencial gravitacional, lo que sea) dependen de cómo la construya , y no existe una forma "natural" clara de hacerlo.

Su distribución infinita, tomada en el sentido positivista para incluir todos los efectos que puede tener sobre los observables, simplemente no existe (matemáticamente, no solo físicamente), por lo que no podemos especular sobre cuáles podrían ser esos efectos sobre los observables.

Algunos comentarios:

1. Si todos los "puntos" en el espacio tienen la misma carga, definirá un nuevo vacío. Esta es una referencia mundial. Es como un mar de Dirac. Entonces, tal vez la constante dieléctrica del vacío era diferente.

2. Elegir un punto, para que sea el punto "cero", no rompe la invariancia de traducción del espacio, a menos que matemáticamente hablando, la medida de ese punto cero en el espacio no sea cero. Es decir, la medida de un punto fuera de R es cero. Sin embargo, la medida de un punto, fuera del espacio discreto, no es cero (porque el conjunto es contable).

En caso de que el punto cero posea una medida distinta de cero, el espacio se curva alrededor del punto "cero" elegido (como se mencionó anteriormente, todo se cancela, pero no la contribución del punto cero).

E. Atzmón

También en términos simples. En un universo que es infinito con una distribución uniforme de materia oscura, siempre estás en el centro de esa distribución. La gravedad en una capa esférica, si lo resuelves, siempre llega a cero dentro de una capa esférica. Por eso la gravedad en la tierra no llega al infinito. Al acercarse a la tierra, la gravedad aumenta con la distancia en 1/r^2. Sin embargo, cuando llegamos a la tierra y pasamos a través de la capa exterior esférica de materia, la gravedad de esa capa ahora se cancela. El volumen de esa materia disminuye en función de r^3. El resultado después de hacer los cálculos es una disminución lineal de la gravedad hasta que llega a cero en el centro de la tierra. Un universo infinito de materia distribuida uniformemente sin un centro definido aporta gravedad cero en todas partes porque siempre estás en el centro de una esfera. Esto podría hacernos cuestionar si tal infinito realmente puede existir. Al menos la lógica parece asimilar la idea de infinito.

El campo eléctrico estático se puede ver de manera similar en este caso al del campo gravitatorio.

Creo que podemos estar de acuerdo en que si todo el espacio tiene una densidad de carga fija y uniforme (en nuestro marco), entonces el campo E es cero en todas partes. Entonces, obviamente, el cálculo del flujo para cualquier superficie cerrada también arrojará cero a pesar de la presencia de "carga" dentro de la región delimitada.

Pensando "físicamente" y un poco menos matemáticamente, me parece que esta llamada paradoja se reduce a nuestra interpretación de div(E) ~ rho. Quizás siempre deberíamos pensar en esta ecuación como:

div (E) ~ rho - rho(0), donde rho(0) es la densidad de carga del "vacío".

Desde el punto de vista de la electrostática, si agregamos una densidad de carga uniforme (en mi marco) rho (0) en todas partes, no habrá cambios en el campo E estático debido a "sobredensidades" de carga. Por ejemplo, el campo E asociado con un electrón solitario se verá igual si agrego una densidad de carga de fondo rho(0) uniforme en todas partes a su alrededor (bueno, y AT también).

Si reconocemos que una densidad de carga rho(0) no cambia el campo físico E, es fácil ver cómo div (E) ~ rho - rho(0) nos lleva de regreso a donde queremos estar con cálculos de flujo y cargas . Este es un "indicador", es decir, una especie de argumento y tiene sentido físico y práctico para mí.

Ahora, lo interesante es si una densidad de carga uniforme difusa de fondo (rho (0)) como se ve en MI marco se vería igual en un marco reforzado. No tengo las habilidades en este momento para resolver esto, pero mis instintos me dicen que en marcos relativamente potenciados, lo que parece un rho (0) uniforme puede transformarse en algo que puede no ser uniforme, incluso aunque es un escalar (los volúmenes y las diferencias transversales probablemente entren en juego). Pero esto debe verificarse (un buen ejercicio de EM de pregrado). Además, en marcos aumentados o giratorios, sospecho que rho(0), como se ve en mi "marco de reposo", parece corrientes y las cosas son un desastre (aunque muy bien prescrito por Maxwell's Eqns). Otra vez,

De todos modos, creo que la resolución de la paradoja se basa en el reconocimiento de que los campos físicos, como E, surgen de DIFERENCIAS en las densidades de las fuentes de un terreno uniforme para el cual los campos físicos asociados son cero.

¿Suena bien?

Quiero agregar una nueva perspectiva al comentario de user10851. Como ya se discutió, la solución que queremos, donde tenemos una densidad eléctrica constante en todas partes, es distinta de cero. Además, aumenta a medida que nos alejamos del origen.

Se puede argumentar que el problema es que podemos elegir el origen arbitrariamente de modo que encontremos exactamente la misma solución para cualquier punto que el origen, lo que parece contradictorio porque si uno pregunta "¿cuál es el campo eléctrico en un punto$P$?", entonces no podemos dar una respuesta independientemente del origen, es decir, el campo eléctrico depende del origen (dependiente del observador).

La perspectiva que propongo es esta: ESTA SOLUCIÓN ES EXACTAMENTE IDENTICA A LA EXPANSIÓN DE NUESTRO UNIVERSO

Nuestro universo es homogéneo pero al mismo tiempo se está expandiendo. Como en la solución del usuario 10851, la expansión es más fuerte a medida que nos alejamos del origen de nuestro marco de referencia. Como está en la solución, la expansión depende del marco de referencia que elijamos.

Por lo tanto, el problema en su argumento fue que la suposición de que la homogeneidad de la densidad de carga implica que el campo eléctrico es cero en todas partes . Como hemos visto, no es así.

NOTA IMPORTANTE : La expansión del universo es solo un ejemplo para mostrar que homogéneo no implica estabilidad. Yo, por supuesto, no propongo que la expansión del universo esté relacionada con la carga o el campo eléctrico.

Solo un punto rápido sobre su argumento de simetría. La cancelación exacta de todas las contribuciones de campo eléctrico en un punto$P$sale mal porque no hay contribución para cancelar la contribución del elemento de cargo en$P$sí mismo. Como dijeron otros carteles, debe comenzar con la Ley de Gauss tal como está escrita e integrar su densidad de carga dada. No obtendrá un campo eléctrico uniformemente cero.