¿Se puede calcular la masa de un átomo de hidrógeno de una manera invariante de calibre?

Como dije antes, la energía no es una cantidad invariable de calibre; en términos generales, son "diferencias de energía", como se explica en el libro de texto de teoría de campo que te vinculé en un hilo anterior.

Cuando estos claros argumentos sobre la adición de masas/energías se enseñan en la licenciatura, obviamente, lo correcto para los profesores es pasar por alto las sutilezas de definir correctamente las cantidades invariantes de calibre. El argumento que ha dado para la masa del átomo de hidrógeno está bien en realidad, es solo que todas las cosas allí son diferencias de energía estrictamente hablando.

En primer lugar, es perfectamente legal cambiar el hamiltoniano por una constante y, por lo tanto, cambiar formalmente la energía del estado fundamental del átomo de hidrógeno para que sea lo que quieras. Pero recuerde que existen soluciones de estado ligado para el problema de Coulomb y estados continuos (o de "dispersión"). Una declaración invariante de calibre que permanecerá igual sin importar lo que haga es: "la brecha entre el estado límite de energía más alta y el primer estado continuo es 13.6 eV".

Así que no importa cómo definas los valores absolutos de los niveles de energía en sí mismos, es un hecho invariable de calibre que tienes 13,6 eV menos cuando estás atado que cuando estás libre.

Con respecto a las masas de los propios protones/electrones, este es un punto un poco más sutil. La razón por la que es confuso es que "un electrón" y "un protón" en realidad no son objetos invariantes de calibre, porque están cargados. Crear un protón/electrón a partir del estado fundamental (sin preocuparse por los "verdaderos" orígenes microscópicos de los protones, que solo aparecen a altas energías; imaginemos que son cargas de prueba positivas) requiere que cree un electrón-positrón ( o protón-antiprotón) par. El 0,5 MeV es la mitad de la energía de un par electrón-positrón, y también es una cantidad invariante de calibre.

Así que estamos sumando dos diferencias de energía. El primero es la diferencia de energía entre tener un solo electrón/protón y no tener partículas. El segundo es la diferencia de energía entre esas dos partículas unidas y libres. Ambas cantidades son invariantes de calibre: la primera nos da las masas del protón y el electrón, la suma de ellas nos da la masa del átomo de hidrógeno.

Sí, la masa en reposo de un sistema, como un átomo de hidrógeno, se puede calcular de una manera completamente invariante de calibre, integrando el$T^{00}$componente de su tensor de energía-momento-esfuerzo de Hilbert invariante de calibre$T^{\mu\nu}$. Este componente es la densidad de energía, e integrarlo en todo el espacio da la energía total invariante de calibre del sistema.

Se garantiza que el tensor de energía-momento-tensión "canónico" producido por el teorema de Noether se conservará si la acción para el sistema es invariante bajo las traducciones temporales y espaciales, pero no es necesariamente invariante de calibre o incluso simétrica. Por lo tanto, y la energía que se encuentra al integrarlo, no tiene significado físico.

Sin embargo, existe un procedimiento bien conocido para producir tensores de energía-momento-esfuerzo físicamente significativos que no solo se conservan sino que también son manifiestamente invariantes de calibre, manifiestamente covariantes de Lorentz y manifiestamente simétricos. Estos tensores tienen un significado físico: representan la densidad de energía local, la densidad de momento, etc. de la materia.

Desde la aparición de este tipo de$T^{\mu\nu}$en el lado derecho de las ecuaciones de campo de Einstein para la Relatividad General, es obvio que la densidad de energía, la densidad de momento, etc. deben ser medibles, porque crean una curvatura en el espacio-tiempo. La curvatura es medible, y por lo tanto$T^{\mu\nu}$es medible. Por tanto, no es el caso de que sólo las diferencias en las energías sean físicamente significativas. El valor "absoluto" de la densidad de energía es significativo porque curva el espacio-tiempo.

Existe un procedimiento estándar debido a Hilbert y Einstein para encontrar tensores de tensión que se conservan, invariantes de calibre, covariantes de Lorentz y simétricos, a saber, mediante la integración funcional de la densidad lagrangiana con respecto a la métrica:

$$T_{\mu\nu} = \frac{-2}{\sqrt{-g}} \frac{{\delta\mathcal{L}_{\text{matter}}\sqrt{-g}}}{\delta g^{\mu\nu}}.$$

Cuando uno usa tal$T^{\mu\nu}$para un sistema de partículas puntuales y campos electromagnéticos, el resultado para el átomo de hidrógeno (en el orden-$\alpha^2$aproximación que usa la pregunta) es idéntico al cálculo "ingenuo" presentado en la pregunta. Pero es completamente invariable de calibre de principio a fin.

Lo que uno encuentra es que$U(r) = q_1 q_2/r$, anteriormente considerada como la "energía potencial electrostática del protón y el electrón" es, de hecho, la parte dependiente de la posición invariable de calibre de la energía restante que reside en el campo electrostático del protón y el electrón. El hecho de que parezca el producto de una carga con el potencial electrostático dependiente del calibre de la otra carga es irrelevante. El siguiente cálculo no implica ningún potencial en absoluto.

También hay una parte constante infinita, independiente de la posición, invariante del calibre, de la energía del campo electrostático, que simplemente vuelve a normalizar las masas de las dos partículas.

Por lo tanto, la "energía potencial" electrostática puede entenderse como la parte dependiente de la posición de la energía en reposo invariante de calibre que reside en el campo electrostático. Realmente llega a cero en el infinito, porque un cálculo de calibre invariante nos lo dice. Ir a cero en el infinito no es simplemente una convención.

Si quiere decir que la masa de un protón y un electrón son sus valores medidos estándar, entonces debe tomar la "energía potencial" entre ellos para que sea exactamente$-e^2/r$y no agregar una constante o cualquier otro término dependiente del indicador.

Aquí están los detalles matemáticos:

Considere una colección de partículas puntuales con masas$m_i$y cargos$q_i$, moviéndose bajo la influencia de un campo electromagnético, que podría ser una combinación de los campos de las propias partículas y algún campo externo.

El tensor de energía-momento-esfuerzo conservado, simétrico, manifiestamente covariante e invariante de calibre para un sistema de partículas puntuales y campos electromagnéticos se divide limpiamente en dos términos,

$$T^{\mu\nu} = T_{(p)}^{\mu\nu} + T_{(f)}^{\mu\nu},$$

donde el término de solo partículas es

$$T_{(p)}^{\mu\nu} = \sum_i m_i \int \dot{X}_i^\mu (\tau) \dot{X}_i^\nu (\tau) \; \delta^{(4)}(x-X_i(\tau)) \; d\tau$$

y el término de solo campos es

$$T_{(f)}^{\mu\nu}=\frac{1}{4\pi} \left( F^{\mu\alpha} {F^\nu}_\alpha - \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu} F^{\alpha\beta} F_{\alpha\beta} \right).$$

Aquí$m_i$es la masa del$i^\text{th}$partícula,$X_i(\tau)$es su línea de mundo en función del tiempo propio$\tau$a lo largo de la línea del mundo, y$F^{\mu\nu}$es el tensor de campo electromagnético de calibre invariante. Tenga en cuenta que el potencial electromagnético dependiente del calibre no aparece en ninguna parte en este tensor de energía-momentum-stress.

El$T^{00}$componente para las partículas se puede escribir, después de hacer la integración sobre$\tau$, como

$$T_{(p)}^{00} = \sum_i m_i( 1-\mathbf{v}_i^2)^{-1/2} \; \delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{X}_i(t)),$$

e integrando esto sobre el espacio da la energía de las partículas,

$$E_{(p)} = \sum_i m_i( 1-\mathbf{v}_i^2)^{-1/2} = \sum_i m_i + \sum_i \frac{1}{2}m_i \mathbf{v}^2 + \dots \; .$$

Obviamente, esta es la expansión habitual en la energía de las masas en reposo más la energía cinética. Estamos haciendo una aproximación no relativista y no necesitamos los términos superiores. En el caso del átomo de hidrógeno, la energía de las partículas en el marco del centro de masa toma la forma

$$E_{(p)} = m_p + m_e + \frac{\mathbf{p}^2}{2\mu}$$

dónde$\mu = m_p m_e/(m_p + m_e)$es la masa reducida y$\mathbf{p}$es el momento relativo. El valor esperado de este tercer término es lo que se denota$\langle K \rangle$en la pregunta Así que hemos reproducido los primeros tres términos para el resto de la energía del hidrógeno.

El$T^{00}$componente para los campos se puede escribir en términos del campo eléctrico$\mathbf{E}$y el campo magnetico$\mathbf{B}$,

$$T_{(f)}^{00} = \frac{\mathbf{E}^2 + \mathbf{B}^2}{8 \pi},$$

e integrando esto sobre el espacio da la energía de los campos,

$$E_{(f)} = \int \frac{\mathbf{E}^2 + \mathbf{B}^2}{8 \pi} \, dV.$$

por el pedido-$\alpha^2$aproximación de la energía en reposo del hidrógeno que nos interesa, podemos calcular esta energía de campo ignorando el movimiento de las cargas. El campo eléctrico es el habitual de Coulomb para una carga estática, y no hay campo magnético. No hay campo externo a considerar.

los campos de$q_1$son

$$\mathbf{E}_1 = q_1 \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r_1}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r_1}|^3}, \quad \mathbf{B}_1 = 0,$$

y los campos de$q_2$son

$$\mathbf{E}_2 = q_2 \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r_2}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r_2}|^3}, \quad \mathbf{B}_2 = 0.$$

La energía del campo obviamente se divide en tres integrales:

$$E_f = \int \frac{(\mathbf{E}_1 + \mathbf{E}_2)^2}{8 \pi} \, dV = \int \frac{\mathbf{E}_1^2}{8 \pi} \, dV + \int \frac{\mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2}{4 \pi} \, dV + \int \frac{\mathbf{E}_2^2}{8 \pi} \, dV.$$

La primera integral,

$$E_{f,1} = \int \frac{\mathbf{E}_1^2}{8 \pi} \, dV = \frac{q_1^2}{8\pi} \int \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r_1}|^4} \, dV = \frac{q_1^2}{2} \int_0^\infty \frac{dr}{r^2},$$

diverge Es la autoenergía electrostática clásica de carga puntual.$q_1$interactuando con su propio campo. no tiene nada que ver$q_2$y no depende de la distancia entre las cargas ni de la posición de$q_1$. Es la energía del descanso la que es tan intrínseca a$q_1$como es su masa-energía, y esta energía simplemente renormaliza la masa$m_1$, del mismo modo que ocurre en QED.

La tercera integral,

$$E_{f,2} = \int \frac{\mathbf{E}_2^2}{8 \pi} \, dV = \frac{q_2^2}{8\pi} \int \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r_2}|^4} \, dV = \frac{q_2^2}{2} \int_0^\infty \frac{dr}{r^2},$$

diverge de manera similar y simplemente se vuelve a normalizar$m_2$.

La segunda integral,

$$E_{f,12} = \int \frac{\mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2}{4 \pi} \, dV = \frac{q_1 q_2}{4\pi} \int \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r_1}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r_1}|^3} \cdot \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r_2}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r_2}|^3} \; d^3\mathbf{r} = \;?$$

es el interesante. Se trata de ambos campos invariantes de calibre$\mathbf{E}_1$y$\mathbf{E}_2$y se puede describir como una energía de interacción dependiente de la posición invariante de calibre. Parece que podría ser divergente, pero resulta que esta integral se puede realizar (ver más abajo) ¡y el resultado es finito! De hecho, es solo la "energía potencial" habitual de dos cargas puntuales:

$$E_{f,12} = \frac{q_1 q_2}{|\mathbf{r_1}-\mathbf{r_2}|}$$

Para el átomo de hidrógeno, esto significa que el término "energía potencial"$\langle -e^2/r \rangle$es completamente legítimo; es el$r$-parte dependiente de la energía de campo invariante de calibre. El$r$-La parte independiente de la energía de campo invariante de calibre es divergente y renormaliza las masas.

Este término proveniente de los campos produce el cuarto término en la energía del resto del hidrógeno, que anteriormente se denotaba$\langle U\rangle$.

Para hacer la integral, introduce las coordenadas cartesianas con$q_1$Me senté$\mathbf{r}_1=a\hat{\mathbf{z}}$y$q_2$Me senté$\mathbf{r}_2=-a\hat{\mathbf{z}}$.

El campo eléctrico de$q_1$es

$$\mathbf{E}_1 = q_1 \frac{x\hat{\mathbf{x}} + y\hat{\mathbf{y}} + (z-a)\hat{\mathbf{z}}}{[x^2 + y^2 + (z-a)^2]^{3/2}}$$

y el campo eléctrico de$q_2$es

$$\mathbf{E}_2 = q_2 \frac{x\hat{\mathbf{x}} + y\hat{\mathbf{y}} + (z+a)\hat{\mathbf{z}}}{[x^2 + y^2 + (z+a)^2]^{3/2}},$$

entonces la energía de interacción del campo es

$$E_{f,12} = \frac{q_1 q_2}{4 \pi} \int_{-\infty}^\infty dx \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dz \; \frac{x^2 + y^2 + z^2 - a^2}{[(x^2 + y^2 + z^2 + a^2)^2 - 4 a^2 z^2]^{3/2}}.$$

Convirtiendo a coordenadas polares esféricas, la integral se convierte en

$$E_{f,12} = \frac{q_1 q_2}{4 \pi} \int_0^\infty r^2 dr \int_0^\pi \sin\theta d\theta \int_0^{2\pi} d\phi \; \frac{r^2 - a^2}{[(r^2 + a^2)^2 - 4 a^2 r^2 \cos^2\theta]^{3/2}}.$$

La integral sobre$\phi$solo da$2\pi$, y la integral sobre$\theta$se vuelve elemental con la sustitución$u=\cos\theta$:

$$\begin{align*} E_{f,12} &= \frac{q_1 q_2}{2} \int_0^\infty r^2 (r^2 - a^2) \; dr \int_{-1}^1 \frac{du}{[(r^2 + a^2)^2 - 4 a^2 r^2 u^2]^{3/2}} \\ &= \frac{q_1 q_2}{2} \int_0^\infty r^2 (r^2 - a^2) \; dr \left[ \frac{u}{(r^2 + a^2)^2 [(r^2 + a^2)^2 - 4 a^2 r^2 u^2]^{1/2}} \right]_{-1}^1 \\ &= q_1 q_2 \int_0^\infty \frac{r^2 dr}{(r^2 + a^2)^2} \frac{r^2 - a^2}{|r^2 - a^2|}. \end{align*}$$

La integral sobre$r$debe dividirse en dos partes, una de 0 a$a$, y uno de$a$a$\infty$.

$$E_{f,12} = q_1 q_2 \left( \int_0^a \frac{r^2 dr}{(r^2 + a^2)^2}(-1) + \int_a^\infty \frac{r^2 dr}{(r^2 + a^2)^2} (+1) \right).$$

Las integrales resultantes se pueden hacer con la sustitución$r=a\tan{u}$y dar

$$\begin{align*} E_{f,12} &= q_1 q_2 \left( \left[ \frac{r}{2(r^2 + a^2)} - \frac{\tan^{-1}(r/a)}{2 a} \right]_0^a + \left[ \frac{\tan^{-1}(r/a)}{2 a} - \frac{r}{2(r^2 + a^2)} \right ]_a^\infty \right) \\ &= q_1 q_2 \left[ \left( \frac{1}{4a} - \frac{\pi}{8a} \right) - (0) + \left( \frac{\pi}{4a} \right) - \left( \frac{\pi}{8a} - \frac{1}{4a} \right) \right] \\ &= \frac{q_1 q_2}{2a} \end{align*}$$

Así el resultado final es

$$E_{f,12} = \frac{q_1 q_2}{d}$$

dónde$d=2a$es la separación entre las cargas.

El resultado reclamado,

$$E_{f,12} = \int \frac{\mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2}{4 \pi} \, dV = \frac{q_1 q_2}{4\pi} \int \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r_1}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r_1}|^3} \cdot \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r_2}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r_2}|^3} \; d^3\mathbf{r} = \frac{q_1 q_2}{|\mathbf{r_1}-\mathbf{r_2}|}$$

se deduce del hecho de que se trata de una ecuación rotacionalmente invariante que hemos verificado con una elección particular de coordenadas.

Apéndice:

Un enfoque mucho más simple es simplemente darse cuenta de que la ecuación de Schrödinger es invariante de calibre. Para un electrón en un campo electromagnético descrito por un potencial escalar$\phi(\mathbf{r})$y un vector potencial$\mathbf{A}(\mathbf{r})$, la ecuación de Schrödinger es

$$\left[ \frac{1}{2m} \left( \frac{\hbar}{i}\nabla + \frac{e}{c} \mathbf{A}(\mathbf{r}) \right)^2 - e \phi(\mathbf{r}) \right] \psi(\mathbf{r}, t)=E \psi(\mathbf{r}, t).$$

Cuando uno hace las transformaciones de calibre

$$\psi(\mathbf{r}, t) \rightarrow \exp({i \lambda(\mathbf{r}, t)}) \psi(\mathbf{r}, t)$$

$$\phi(\mathbf{r}) \rightarrow \phi(\mathbf{r}) + \frac{\hbar}{e} \frac{\partial\lambda(\mathbf{r}, t)}{\partial t}$$

$$\mathbf{A}(\mathbf{r}) \rightarrow \mathbf{A}(\mathbf{r}) - \frac{\hbar c}{e} \nabla \lambda(\mathbf{r}, t)$$

y utiliza la relación

$$i \hbar \frac{\partial \psi(\mathbf{r}, t)}{\partial t} = E \psi(\mathbf{r}, t),$$

uno encuentra que la ecuación no ha cambiado, mostrando que la energía$E$es calibre-invariante. Esta es una parte estándar de la mayoría de los cursos de pregrado en Mecánica Cuántica.

Por lo tanto, el cálculo original en la pregunta es completamente invariante de calibre (aunque no manifiestamente, como el de mi respuesta), porque la invariancia de calibre de la ecuación de Schrödinger garantiza que la energía es la misma en cualquier calibre. Por lo tanto, está bien calcular la energía en un indicador donde el potencial del protón es$\phi=e/r$.

Un comentarista disidente parece no entender que la ecuación de Schrödinger es invariante de medida. Ha argumentado (en el hilo "Energía / masa del vacío cuántico") que cambiar la fase de la función de onda como$\psi \rightarrow e^{i \alpha t} \psi$, dónde$\alpha$es constante, desplaza el espectro en$\alpha$. Parece haber olvidado que cambiar la fase de la función de onda es solo una parte de una transformación de calibre. La otra parte está cambiando los potenciales electromagnéticos. Cuando uno hace ambas cosas, la energía no cambia. Este es el objetivo de tener campos de calibre... están ahí para hacer que las ecuaciones sean invariantes de calibre . Su afirmación en el otro hilo de que "La energía del estado fundamental no es una cantidad observable", aparentemente porque piensa que depende del calibre, es falsa.

Una posible confusión es que, aunque la ecuación de Schrödinger para una carga en un campo electromagnético es invariante de calibre, el hamiltoniano no lo es, en general. Pero esto no es inconsistente con que la energía sea invariante de calibre, porque el hamiltoniano no siempre es el operador de energía. El problema es que una transformación de calibre puede convertir un hamiltoniano no dependiente del tiempo en uno dependiente del tiempo, en cuyo caso ya no es cierto que$\hat{H}\psi=E\psi$.