¿Se ha ajustado la teoría libre del campo cuántico de Klein-Gordon al marco algebraico de Haag-Kastler? (En realidad, John Baez me dijo "sí", y debería saberlo). Si es así, ¿puede describir la estrategia básica y/o dar sugerencias?
La misma pregunta para la teoría del campo libre de Dirac.
Sí, estos son los ejemplos estándar. Algunas referencias se recogen aquí .
Para una revisión/encuesta rápida, vea, por ejemplo, las diapositivas 11-17 en
La discusión del escalar libre en Minkowski y el espacio-tiempo curvo es alrededor de la sección 3.2 de
La discusión del campo de Dirac y sus deformaciones se encuentra, por ejemplo, en
Hay muchos más, solo persiga referencias. Si se discute algún ejemplo, es el campo escalar libre. Eso es lo que motivó e instruyó gran parte de la teoría. El arte es ir más allá de ese ejemplo.
Como mencionó Urs en su respuesta, los campos libres realmente constituyen los ejemplos guía para los diversos sistemas axiomáticos de QFT. La construcción de campos libres en el espacio de Minkowski es una parte estándar de la teoría, aunque puede ser necesario investigar un poco para encontrar la referencia precisa donde se comprueba que dicha construcción satisface el conjunto deseado de axiomas. En particular, para el sistema de axiomas de Haag-Kastler, una vez que la teoría se construye sobre todo el espacio de Minkowski, se debe mostrar la inyectividad y el isomorfismo de las álgebras localizadas en subconjuntos del espacio de Minkowski, con respecto a las inclusiones apropiadas de estos subconjuntos.
Las construcciones de varios campos bosónicos y fermiónicos libres, incluidos los casos específicos de campos escalares y de Dirac, se pueden encontrar en estas referencias clásicas, con grados de detalle algo variables:
Baez, JC, Segal, IE, Zhou, Z., Introducción a la teoría algebraica y constructiva de campos cuánticos (Princeton, 1992)
Wald, RM, Teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo y la termodinámica de los agujeros negros , (Chicago, 1994).
Hay dos etapas principales en la construcción. Uno tiene que construir el espacio lineal de soluciones como una variedad simpléctica (ese es el espacio de fase clásico). Entonces uno tiene que convertir el álgebra de funciones en este espacio en un no conmutativo -álgebra de observables cuánticos (eso es cuantización). Dado que las teorías en cuestión son lineales, una vez que se realiza el análisis funcional necesario, se realiza mediante una versión de dimensión infinita de cómo se realiza para un oscilador armónico simple. Para los fermiones es bastante sencillo. Para los bosones, uno tiene que usar el truco intermedio de trabajar con el álgebra de funciones acotadas generadas por campos difuminados exponenciados (esa es el álgebra de Weyl). Los operadores ilimitados reales que representan campos difuminados se construyen tomando derivados de los elementos del álgebra de Weyl, una vez que se ha elegido una representación.
Los mismos pasos aparecen también en el trabajo sobre QFT en el espacio-tiempo curvo, donde diferentes referencias describen los pasos individuales en diferentes niveles de detalle. Para obtener algo como los axiomas de Haag-Kastler de las últimas construcciones, uno simplemente tiene que restringirse a los espacio-tiempos que consisten en subespacios causales en forma de diamante del espacio de Minkowski. Las referencias clásicas para teorías de campo particulares incluyen:
El mayor escollo técnico en estas referencias es cómo tratan (o no tratan) las superficies de Cauchy no compactas.
La generalización moderna de los axiomas de Haag-Kastler a los espaciotiempos lorentzianos globalmente hiperbólicos arbitrarios son los axiomas de Brunetti-Fredenhagen-Verch (o teoría cuántica de campos localmente covariante). Aquí hay un par de referencias modernas que dan la construcción de campos libres (subsumiendo la mayoría de los ejemplos particulares anteriores), con gran detalle matemático, que encaja directamente en este marco:
(Nota para los entendidos: en esta situación restringida, ¡la cuantización resulta ser un funtor!)
Por supuesto, se puede encontrar mucha más literatura investigando hacia adelante y hacia atrás en la red de citas comenzando con las referencias anteriores.
greg semanas