Estado de la invariancia de calibre local en la teoría cuántica de campos axiomática

Creo que la pregunta abierta aquí debe formularse, y generalmente se formula, no como si la teoría de Yang-Mills "tiene un lugar" en AQFT, sino si uno puede caracterizar de manera abstracta esas redes locales que surgen de la cuantificación de Yang-Mills- tipo lagrangianos. En otras palabras: dado que AQFT proporciona una axiomática para QFT independientemente de que un proceso de cuantificación comience a partir de un funcional de acción: ¿se puede detectar a partir del resultado final de la cuantificación que comenzó a partir de un Lagrangiano de tipo Yang-Mills?

Por otro lado, ciertamente esperamos que la cuantización de cualquier funcional de acción de tipo Yang-Mills produzca algo que satisfaga los axiomas de AQFT. Si bien durante mucho tiempo no hubo una buena sugerencia sobre cómo demostrar esto, Fredenhagen et al. han estado discutiendo más recientemente cómo todas las técnicas estándar de QFT perturbativas sirven para proporcionar construcciones (perturbativas) de redes locales de observables. Las referencias se recopilan aquí , vea en particular la última allí sobre la construcción perturbativa de redes locales de observables para QED.

A este respecto, en relación con el comentario de Kelly, se debe recordar que la construcción de ejemplos de teoría gauge en la TQFT axiomática tampoco está completamente resuelta. Uno espera que la construcción Reshetikhin-Turaev+ para la categoría modular de$\Omega G$-representaciones da la cuantización de la teoría G-Chern-Simons, pero no estoy al tanto de que esto haya sido completamente probado. Y para la teoría de Chern-Simons como TQFT extendida , solo recientemente ha habido una propuesta parcial para el caso abeliano FHLT . Finalmente, nótese también que aquí se pueden incorporar grados de libertad no finitos, si se pasa a cobordismos no compactos (ver el final de Lurie ), que en 2 dimensiones son " TCFT s" que contienen todos los modelos 2d TQFT que los físicos se preocupan, como el modelo A y el modelo B.

Con respecto al comentario de Moshe: las dualidades conocidas entre las teorías de calibre y las que no son de calibre generalmente implican un cambio de dimensión. Esto todavía parecería permitir la pregunta de si una red en una dimensión fija es la de una teoría de tipo Yang-Mills.

Pero incluso si resulta que los QFT de tipo Yang-Mills no tienen una caracterización intrínseca. sus importantes propiedades invariantes deberían tener. Por ejemplo, debería ser posible saber a partir de una red local de observables si la teoría es asintóticamente libre. ¿Supongo?

Este es más un comentario extenso, en lugar de una respuesta completamente separada de lo que Urs y Moshe ya han dicho. Los axiomas de AQFT están diseñados para capturar un modelo matemático de los observables físicos de una teoría, mientras que la invariancia de calibre OTOH es una característica de una formulación .de una teoría, aunque quizás una especialmente conveniente. Su pregunta y otras relacionadas están algo confusas por el hecho de que una teoría física puede tener varias formulaciones equivalentes, pero distintas, que también pueden tener diferentes simetrías de calibre. Un ejemplo de este fenómeno es la gravedad, consideremos las formulaciones métrica y marco-campo, y otro según Moshe es la dualidad de Seiberg. Otro factor de confusión es que algunas teorías físicas solo se conocen en una formulación que involucra simetrías de calibre (lo que automáticamente hace que tales formulaciones sean "especialmente convenientes"), lo que naturalmente lleva a su segunda pregunta. Sin embargo, se debe recordar que, por diseño, la formulación del indicador debe ser visible en el marco AQFT solo si es detectable a través de observables físicos.

Ahora, para ser honesto, realmente no tengo idea de cuál es el estado del arte en AQFT para averiguar cuándo una red dada de álgebras locales de observables admite una formulación "especialmente conveniente" que involucra simetría de calibre. Pero creo que responder a este tipo de preguntas seguirá siendo difícil hasta que la noción de "especialmente conveniente" sea matemáticamente precisa. Tampoco sé cuánto se ha avanzado en ese frente. Pero creo que se puede analizar un prototipo de este tipo de preguntas, aunque de manera algo esquemática, en el caso simplificado de la electrodinámica clásica.

Supongamos que nos dan una red local de álgebras de Poisson de observables físicos (la contraparte cuántica tendría *-álgebras, pero aparte de eso, la geometría de la teoría es muy similar). El primer paso es reconocer de alguna manera que esta red de álgebras es generada por polinomios en campos difuminados,$\int f(F,x) g(x)$, dónde$g(x)$es una forma de volumen de prueba, y$f(F,x)$es alguna función de$F$y sus derivados en$x$, con$F(x)$una forma 2 que satisface las ecuaciones de Maxwell$dF=0$y$d({*}F)=0$. Como nos dieron la red de álgebras con una estructura de Poisson dada, como segundo paso podemos calcular el corchete de Poisson$\{F(x),F(y)\}=(\cdots)$. La respuesta para la electrodinámica sería el conocido propagador causal Pauli-Jordan/Lichnerowicz, que no reproduciré aquí. En términos muy generales, los componentes de$F(x)$y la expresión para el propagador de Pauli-Jordan da un conjunto de "coordenadas" locales en el espacio de fase de la teoría y una expresión para el tensor de Poisson en él. En el tercer paso podemos calcular el inverso del tensor de Poisson, que si existiera sería una forma simpléctica. La respuesta para la electrodinámica es bien conocida y lo importante es que la forma simpléctica no viene dada por alguna expresión local como$\Omega(\delta F_1,\delta F_2) = \int \omega(\delta F_1, \delta F_2, x)$, dónde$\omega$es una forma que depende únicamente de los valores de$\delta F_{1,2}(x)$y sus derivados en$x$. El cuarto paso consistiría en preguntar si hay otra opción de "coordenadas" locales en el espacio de fase en el que la forma simpléctica es local. La respuesta nuevamente es bien conocida: extienda el espacio de fase introduciendo el campo de 1 forma$A(x)$tal que$F=dA$. El retroceso de la forma simpléctica al espacio de fase extendido ahora tiene una expresión local$\Omega(\delta A_1,\delta A_2) = \int_\Sigma [{*}d(\delta A_1)(x)\wedge (\delta A_2)(x) - (1\leftrightarrow 2)]$, hasta algunos factores constantes, con$\Sigma$alguna superficie de Cauchy. Tenga en cuenta que$\Omega$ya no es simpléctico en el espacio de fase extendido, sino solo presimpléctico, mientras que su proyección hacia el espacio de fase físico sí lo es. Como último paso, se podría tratar de resolver el problema inverso del cálculo de variaciones y llegar a un principio de acción local que reproduzca las ecuaciones de movimiento para$A$y la estructura presimpléctica$\Omega$.

Déjame resumir. (1) Obtener campos locales fundamentales y sus ecuaciones de movimiento. (2) Exprese el tensor de Poisson y la forma simpléctica en términos de campos locales. (3) Introducir nuevos campos para hacer que la expresión de la forma (pre)simpléctica sea local. (4) Obtener el principio de acción local en los nuevos campos. Tenga en cuenta que la simetría de calibre y todos los problemas asociados con ella aparecen precisamente en el paso (3). Según mi comprensión limitada, la literatura sobre AQFT ha dedicado una cantidad significativa de tiempo al paso (1), pero tal vez no lo suficiente a los pasos (2) y (3) incluso para formular estos problemas con precisión.

Finalmente, debo enfatizar que la idea de que los grados de libertad de calibre redundantes se introducen principalmente para dar una estructura local a la estructura (pre) simpléctica en el espacio de fase es algo especulativa. Pero parece encajar en las teorías de campo con las que estoy familiarizado y no he podido identificar una diferente pero igualmente competitiva.

¿Qué pasa con la posibilidad de que esta sea la pregunta incorrecta y que exista y no deba existir un lugar de (sic) invariancia de calibre local en AQFT?

Supongo que esto depende de cómo uno vea AQFT. Uno puede ver AQFT de una de dos maneras:

• AQFT como teoría debe corresponder a la naturaleza.
• AQFT como teoría no necesita corresponder a la naturaleza.

Si AQFT debe corresponder a la naturaleza, entonces debe incorporar la invariancia del calibre local, ya que la naturaleza incorpora la invariancia del calibre local. (Tenga en cuenta que "incorporar" aquí podría significar incluir un mecanismo que a "bajas energías" parece una invariancia de calibre local).

Si AQFT no necesita corresponder a la naturaleza, entonces no necesita incorporar la invariancia de calibre local.

Con eso en mente, también agregaría que TQFT axiomático incluye simetrías de calibre local sin problemas. De hecho, las simetrías de calibre local TQFT axiomáticas son tan "fuertes" que eliminan todos los grados de libertad locales.