¿Por qué la gravedad de la Tierra es más fuerte en los polos?

El punto es que si aproximamos la Tierra con un elipsoide achatado, entonces la superficie de la Tierra es una superficie equipotencial ,$^1$ver, por ejemplo , esta publicación de Phys.SE.

Ahora, debido a que el radio polar es menor que el radio ecuatorial, la densidad de superficies equipotenciales en los polos debe ser mayor que en el ecuador.

O de manera equivalente, la intensidad de campo$^2$ $g$en los polos debe ser mayor que en el ecuador.

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$^1$Tenga en cuenta que el potencial aquí se refiere al efecto combinado de las fuerzas gravitacionales y centrífugas. Si vertemos un poco de agua sobre una superficie equipotencial, no habrá una dirección de flujo preferida.

$^2$De manera similar, la intensidad de campo, conocida como pequeña $g$, se refiere al efecto combinado de las fuerzas gravitacionales y centrífugas, incluso si$g$se refiere a menudo (casualmente y algo engañoso) como la constante gravitatoria en la superficie de la Tierra.

Muchos lugares afirman que la gravedad de la Tierra es más fuerte en los polos que en el ecuador por dos razones:

1. La fuerza centrífuga anula mínimamente la gravedad, más en el ecuador que en los polos.
2. Los polos están más cerca del centro debido a la protuberancia ecuatorial y, por lo tanto, tienen un campo gravitacional más fuerte.

Versión TL;DR: Hay tres razones. En orden de magnitud,

1. Los polos están más cerca del centro de la Tierra debido a la protuberancia ecuatorial. Esto fortalece la gravitación en los polos y la debilita en el ecuador.

2. El abultamiento ecuatorial modifica la forma en que la Tierra gravita. Esto debilita la gravitación en los polos y la fortalece en el ecuador.

3. La Tierra está girando, por lo que un observador terrestre ve una fuerza centrífuga. Esto no tiene efecto en los polos y debilita la gravitación en el ecuador.

Veamos cómo las dos explicaciones en la pregunta se comparan con la observación. La siguiente tabla compara lo que predice un modelo de gravedad esférica menos la aceleración centrífuga para la aceleración gravitacional al nivel del mar en el ecuador ($g_{\text{eq}}$) y el polo norte ($g_{\text{p}}$) frente a los valores calculados utilizando la fórmula de gravedad de Somigliana bien establecida$g = g_{\text{eq}}(1+\kappa \sin^2\lambda)/\sqrt{1-e^2\sin^2 \lambda}$.

$\begin{matrix} \text{Quantity} & GM/r^2 & r\omega^2 & \text{Total} & \text{Somigliana} & \text{Error} \\ g_\text{eq} & 9.79828 & -0.03392 & 9.76436 & 9.78033 & -0.01596 \\ g_\text{p} & 9.86431 & 0 & 9.86431 & 9.83219 & \phantom{-}0.03213 \\ g_\text{p} - g_\text{eq} & 0.06604 & \phantom{-}0.03392 & 0.09995 & 0.05186 & \phantom{-}0.04809 \end{matrix}$

Este modelo simple funciona en un sentido cualitativo. Muestra que la gravitación en el polo norte es mayor que en el ecuador. Cuantitativamente, este modelo simple no es muy bueno. Exagera considerablemente la diferencia entre la gravitación en el polo norte y el ecuador, casi por un factor de dos.

El problema es que este modelo simple no tiene en cuenta la influencia gravitacional de la protuberancia ecuatorial. Una forma simple de pensar en ese abultamiento es que agrega masa positiva en el ecuador pero agrega masa negativa en los polos, para un cambio neto de masa cero. La masa negativa en el polo reducirá la gravitación en la vecindad del polo, mientras que la masa positiva en el ecuador aumentará la gravitación ecuatorial. Eso es exactamente lo que recetó el doctor.

Matemáticamente, lo que hace ese movimiento de masas es crear un momento cuadripolar en el campo de gravedad de la Tierra. Sin entrar en los detalles de los armónicos esféricos, se añade un término igual a$3 J_2 \frac {GMa^2}{r^4}\left(\frac 3 2 \cos^2 \lambda - 1\right)$a la fuerza gravitacional, donde$\lambda$es la latitud geocéntrica y$J_2$es la segunda forma dinámica de la Tierra. Al agregar este término de cuadrupolo a la tabla anterior, se obtiene lo siguiente:

$\begin{matrix} \text{Quantity} & GM/r^2 & r\omega^2 & J_2\,\text{term} & \text{Total} & \text{Somigliana} & \text{Error} \\ g_\text{eq} & 9.79828 & -0.03392 & \phantom{-}0.01591 & 9.78027 & 9.78033 & -0.00005 \\ g_\text{p} & 9.86431 & 0 & -0.03225 & 9.83206 & 9.83219 & -0.00013 \\ g_\text{p} - g_\text{eq} & 0.06604 & \phantom{-}0.03392 & -0.04817 & 0.05179 & 0.05186 & -0.00007 \end{matrix}$

Esta simple adición del cuadrupolo ahora hace una muy buena combinación.

Los números que usé en lo anterior:

• $\mu_E = 398600.0982\,\text{km}^3/\text{s}^2$, el parámetro gravitacional de la Tierra menos la contribución atmosférica.

• $R_\text{eq} = 6378.13672\,\text{km}$, el radio ecuatorial de la Tierra (valor medio de la marea).

• $1/f = 298.25231$, el aplanamiento de la Tierra (valor medio de la marea).

• $\omega = 7.292115855 \times 10^{-5}\,\text{rad}/\text{s}$, la tasa de rotación de la Tierra.

• $J_2 = 0.0010826359$, el segundo factor de forma dinámico de la Tierra.

• $g_{\text{eq}} = 9.7803267714\,\text{m}/\text{s}^2$, gravitación al nivel del mar en el ecuador.

• $\kappa = 0.00193185138639$, que refleja la diferencia observada entre la gravitación en el ecuador frente a los polos.

• $e^2 = 0.00669437999013$, el cuadrado de la excentricidad de la figura de la Tierra.

Estos valores son en su mayoría de Groten, "Parámetros fundamentales y mejores estimaciones actuales (2004) de los parámetros de relevancia común para la astronomía, la geodesia y la geodinámica". Journal of Geodesy , 77:10-11 724-797 (2004) , con el parámetro gravitatorio estándar modificado para excluir la masa de la atmósfera. La atmósfera de la Tierra tiene un efecto gravitacional sobre la Luna y los satélites, pero no tanto sobre las personas que se encuentran en la superficie de la Tierra.

Aquí hay un argumento simple que no requiere ningún conocimiento de cosas sofisticadas como equipotenciales o marcos de referencia giratorios. Imagina que pudiéramos girar gradualmente la tierra cada vez más rápido. Eventualmente volaría en pedazos. En el momento en que comenzara a separarse, lo que estaría sucediendo sería que las porciones de la tierra en el ecuador lo harían a velocidad orbital. Cuando estás en órbita, experimentas una aparente ingravidez, al igual que los astronautas en la estación espacial.

Entonces, en un punto en el ecuador, la aceleración aparente de la gravedad$g$(es decir, lo que mides en un laboratorio fijado a la superficie de la tierra) se reduce a cero cuando la tierra gira lo suficientemente rápido. Por interpolación, esperamos que el efecto del giro real sea una disminución$g$en el ecuador, relativo al valor que tendría si la tierra no girara.

Tenga en cuenta que este argumento automáticamente tiene en cuenta la distorsión de la tierra lejos de la esfericidad. La forma achatada es solo parte de la interpolación entre esfericidad y ruptura.

Es diferente en los polos. No importa qué tan rápido gire la tierra, una parte de la tierra en el polo norte nunca estará en órbita. El valor de$g$cambiará debido al cambio en la forma de la tierra, pero ese efecto debe ser relativamente débil, porque nunca puede conducir a la ruptura.

La diferencia en la aceleración de caída libre entre los polos y el ecuador tiene dos factores contribuyentes. Los discutiré uno por uno.

En los polos la aceleración gravitacional medida es 9.8322$m/s^2$
En el ecuador, la aceleración gravitatoria medida es 9,7805$m/s^2$

Dado el radio ecuatorial de la Tierra y la velocidad de rotación de la Tierra, puede calcular cuánta aceleración centrípeta se requiere para co-rotar con la Tierra cuando se encuentra en el ecuador. Eso sale a 0.0339$m/s^2$

Esta aceleración centrípeta requerida (en el ecuador) va a expensas de la verdadera aceleración gravitacional en el ecuador.

Entonces podemos reconstruir cuál sería la aceleración gravitatoria ecuatorial en un cuerpo celeste con el mismo tamaño y densidad y abultamiento ecuatorial que la Tierra, pero que no gira.

Aceleración gravitatoria verdadera: 9,7805 + 0,0339 = 9,8144$m/s^2$

Así que todavía hay una diferencia de 0.0178$m/s^2$

Esa diferencia restante se debe al aplanamiento de la Tierra: en el ecuador estás más lejos del centro de atracción gravitatoria de la Tierra que en los polos.

El punto es si se tuvo en cuenta todo el efecto. Las matemáticas se resumirían en que el efecto de más masa bajo tus pies es aún menor que el efecto de la distancia desde el centro de masa.

Otra vista es. En el ecuador hay protuberancias cerca de ti. Pero desde cualquier otro lado de la tierra, el bulto está lejos de ti. Compara con el poste que todo bulto está igualmente lejos de ti, eso cuenta la diferencia