¿La gravedad se vuelve más fuerte cuanto más alto estás en una montaña?

Question

¿La gravedad se vuelve más fuerte cuanto más alto estás en una montaña?

Bartlomiej Dlugosz

Así que vi este artículo que indica que la gravedad es más fuerte en la cima de la montaña debido a que hay más masa debajo de ti. Sin embargo, he leído algunas preguntas que otras personas han hecho y la mayoría de las respuestas indican que la masa se concentra en el medio de la montaña. tierra, lo que significa que la gravedad no se vuelve más fuerte a medida que asciendes. Me gustaría saber cuál de estos es, ya que el artículo es una fuente bastante confiable. Aquí está el enlace al artículo https://nasaviz.gsfc.nasa.gov/11234

adil mohamed

"la gravedad es más fuerte en la cima de la montaña" Creo que la palabra "más fuerte" es relativa a otro punto a la misma altura y no relativa a otro punto en el suelo, ¿verdad?

robar

Recordatorio amistoso: para responder a la pregunta, publique una respuesta, no un comentario. Algunos eliminados.

Nilay Ghosh

¿Responde esto a tu pregunta? ¿Tomamos gravedad = 9,8 m/s² para todas las alturas al resolver problemas? ¿Por qué o por qué no?

Respuestas (6)

¿La gravedad se vuelve más fuerte cuanto más alto estás en una montaña?

"la gravedad es más fuerte en la cima de la montaña" Creo que la palabra "más fuerte" es relativa a otro punto a la misma altura y no relativa a otro punto en el suelo, ¿verdad?
Recordatorio amistoso: para responder a la pregunta, publique una respuesta, no un comentario. Algunos eliminados.
¿Responde esto a tu pregunta? ¿Tomamos gravedad = 9,8 m/s² para todas las alturas al resolver problemas? ¿Por qué o por qué no?

Juan cazador · Answer 1

Obtiene respuestas diferentes de la NASA y de otras fuentes, ya que están hablando de cosas ligeramente diferentes.

La NASA está hablando de la aceleración del satélite GRACE hacia la tierra, mientras orbitaba sobre diferentes regiones. Cuando pasó sobre el Himalaya, por ejemplo, la aceleración (gravedad) fue superior a la media.

Otras fuentes hablan de la diferencia en la aceleración debida a la gravedad a nivel del suelo, en comparación con si fueras a caminar por el Himalaya, entonces la aceleración disminuiría. Eso es porque aunque habría más masa debajo, has aumentado la distancia desde la tierra.

Mas detalle:

En el fondo de una montaña de masa en forma de cono $m$ , radio $r$ y altura $r$ , la aceleración de la gravedad es $g$ , debido a la tierra de masa $M$ , radio $R$ .

\begin{matrix} (1) & gramo = \frac{GRAMO METRO}{R^{2}} \end{matrix}

$g=\frac{GM}{R^2}\tag1$

la diferencia de gravedad después de escalar la montaña es

\begin{matrix} (2) & \frac{GRAMO METRO}{{(R + r)}^{2}} + \frac{GRAMO metro}{{(\frac{3}{4} r)}^{2}} - gramo \end{matrix}

$\frac{GM}{{(R+r)}^2}+\frac{Gm}{{(\frac{3}{4}r)}^2} - g\tag2$

El 3/4 se debe a la posición del COM de un cono. Usando 1) es

\begin{matrix} (3) & gramo ((1 + \frac{r}{R})^{- 2} + \frac{dieciséis metro R^{2}}{9 METRO r^{2}} - 1) \end{matrix}

$g\bigl((1+\frac{r}{R})^{-2}+\frac{16mR^2}{9Mr^2}-1\bigr)\tag3$

De fórmulas para el volumen de una esfera y un cono y suponiendo igual densidad

\begin{matrix} (4) & \frac{metro}{METRO} = \frac{r^{3}}{4 R^{3}} \end{matrix}

$\frac{m}{M} = \frac{r^3}{4R^3}\tag4$

entonces 3) se convierte, en términos de $g$

\begin{matrix} (5) & y = (1 + \frac{r}{R})^{- 2} + \frac{4 r}{9 R} - 1 \end{matrix}

$y= (1+\frac{r}{R})^{-2}+\frac{4r}{9R}-1\tag5$ ,

poniendo $x = \frac{r}{R}$

\begin{matrix} (6) & y = (1 + X)^{- 2} + \frac{4}{9} X - 1 \end{matrix}

$y= (1+x)^{-2}+\frac{4}{9}x-1\tag6$

tramando esto

muestra que hay una disminución en la aceleración debido a la gravedad para todas las montañas con forma de cono realistas.

Para el Everest, si fuera un cono, $x=0.0014$ y la reducción de la gravedad es $y=0.002g$ , así que lo habitual $9.81$ se convierte en $9.79 \;\text{m}\,\text{s}^{-2}$ .

¿Sería el caso igual para la superficie de la tierra? Si alguien estuviera parado en el Himalaya, la aceleración debida a la gravedad medida en ese punto, ¿no sería un poco mayor debido a la concentración de masa allí y, por supuesto, sería menor porque está más lejos del centro de la tierra? Entonces, ¿ambos factores no actuarán uno contra el otro? Cuál dominará dependerá de la situación exacta.
Sí, hay dos factores opuestos, pero en general, la fuerza de la gravedad es menor en la cima de una montaña, ya que el factor principal es la distancia a la tierra.
Intuitivamente, la intensidad del campo aumenta con la masa, pero disminuye con el cuadrado de la distancia, por lo que se necesita mucha masa para compensar un pequeño aumento en la distancia. (Asintóticamente, $n^2$ crece más rápido que $n$ , incluso si $c_1n_0 > c_2n_0^2$ para algunas constantes $c_1$ , $c_2$ , y $n_0$ . Eventualmente, la exponenciación gana para siempre).
@silverrahul "Si alguien estuviera parado en el Himalaya, la aceleración debida a la gravedad medida en ese punto, ¿no sería un poco más debido a la concentración de masa allí?" ¿Qué concentración de masa? Estés donde estés, considera la masa de una esfera centrada en ti. Si estás en una llanura plana, la mitad contiene masa densa del planeta Tierra. Si estás en la cima de un pico de montaña, esa proporción es mucho menor.
Esto es cualitativamente correcto, pero no creo que puedas aproximar la fuerza gravitacional de un cono reemplazándolo con una masa puntual en el CM del cono. Eso funcionaría aproximadamente a grandes distancias, pero estamos hablando de pararnos en el vértice del cono.
Habiendo pasado ahora por el cálculo, obtengo que la aceleración gravitacional en el punto de un cono con masa $m$ , altura $r$ y base circular de radio $r$ es $3 G m (2 - \sqrt{2})/r^2$ . Esto no es exactamente igual (pero bastante cercano) al valor que encontró; $3(2-\sqrt{2}) \approx 1.7574$ mientras $16/9 \approx 1.7778$ .
@ Michael Seifert Tal vez tengas razón (echará un vistazo a eso), pero dado que ya nos estamos aproximando a una montaña que no tiene realmente forma de cono, por un cono, el cambio es muy pequeño, casi insignificante.
@ Michael Seifert lo miró ahora, sí, tiene razón, gracias por señalarlo, no me había dado cuenta, pero el gráfico realmente no cambió mucho, va de $y=-1.55x$ a $y=-1.56x$ para bajo (tamaño montaña) $x$ , pero como el punto se ha hecho con el modelo existente, la respuesta se quedará con el 16/9.
También podría valer la pena mencionar que, a menos que esté en uno de los polos, también habrá un componente de fuerza centrífuga debido a la rotación de la Tierra, que será en una dirección opuesta a la gravedad (aunque no exactamente opuesta, a menos que usted estás en el ecuador). Esto reducirá la fuerza de gravedad medida en la superficie. No sé la magnitud relativa de esto en comparación con los dos factores que mencionas, pero sospecho que podría ser bastante significativo.
El comentario de @ Nathaniel es correcto y este efecto no está incluido en el cálculo de la respuesta. Este efecto hace aún más seguro que la gravedad sentida en la cima de la montaña sea menor que la gravedad al pie de la montaña.
La aceleración centrífuga tiene tamaño máximo $\omega^2R$ o sobre $5.3\times 10^{-9}R$ , la diferencia de esta aceleración entre el nivel del mar y en la cima del monte Everest altura 8849m sería como máximo $5\times 10^{-5}$ m/s ^ 2, es mucho más pequeño que las otras cosas que se están considerando, por lo que puede ignorarse.

silverrahul · Answer 2

Aquí hay dos factores que trabajan uno contra el otro. Uno es la distribución de la masa de la tierra cerca del lugar, que es más alta cerca de las montañas y tiende a aumentar la aceleración debida a la gravedad en ese lugar. Y el otro factor es la distancia de toda la otra masa de las otras partes de la tierra, que también es más alta cerca de la montaña y, por lo tanto, tiende a disminuir la aceleración debida a la gravedad.

El resultado neto dependerá de la magnitud de estos dos efectos contrapuestos y de los detalles particulares de la montaña en cuestión.

Pero el punto planteado en la otra respuesta es correcto sobre la página particular de la NASA que ha vinculado. Ese no es un mapa de aceleración debido a la gravedad en la superficie de la tierra. Ese es uno medido por un satélite en órbita. Para un satélite en órbita, obviamente, el segundo factor es insignificante, por lo tanto, solo domina el primer factor y, por lo tanto, las áreas montañosas muestran una mayor aceleración debido a la gravedad.

Danijel · Answer 3

Probablemente no por sí mismo.

La aceleración gravitacional de un cuerpo esféricamente simétrico viene dada por:

gramo = \frac{GRAMO METRO}{r^{2}}

$g = \frac{GM}{r^2}$ dónde

r

$r$ es la distancia desde el centro. Asumiendo la densidad uniforme, esto sería:

gramo = \frac{4 π}{3} \frac{GRAMO ρ R_{0}^{3}}{r^{2}}

$g = \frac{4\pi}3\frac{G\rho R_0^3}{r^2}$ dónde

R_{0}

$R_0$ es el radio del cuerpo. Al pararse en la superficie (

r = R_{0}

$r=R_0$ ), esto se convierte en

{gramo}_{0} = \frac{4 π}{3} GRAMO ρ R_{0}

$g_0 = \frac{4\pi}3 G\rho R_0$

Hagamos algunas matemáticas para dos casos extremos:

1) Primero, consideremos una "montaña" esférica de radio $R_1$ ( $R_1 \ll R_0$ ) y la misma densidad $\rho$ . La aceleración gravitacional cuando se está parado en la cima de esa "montaña" es:

\begin{aligned} gramo & = \frac{4 π}{3} GRAMO ρ (\frac{R_{0}^{3}}{(R_{0} + 2 R_{1})^{2}} + R_{1}) = (\frac{R_{0}^{2}}{(R_{0} + 2 R_{1})^{2}} + \frac{R_{1}}{R_{0}}) {gramo}_{0} \\ \equiv (\frac{1}{(1 + 2 ϵ)^{2}} + ϵ) {gramo}_{0} = (1 + \frac{(ϵ - 1) (1 + 2 ϵ)^{2} + 1}{(1 + 2 ϵ)^{2}}) {gramo}_{0} = (1 + ϵ \frac{4 ϵ^{2} - 3}{(1 + 2 ϵ)^{2}}) {gramo}_{0} < {gramo}_{0} \end{aligned}

$\begin{split} g&=\frac{4\pi}3G\rho\left(\frac{R_0^3}{(R_0+2R_1)^2} + R_1\right) = \left(\frac{R_0^2}{(R_0+2R_1)^2} + \frac{R_1}{R_0}\right) g_0 \\ &\equiv \left(\frac1{(1+2\epsilon)^2} + \epsilon\right) g_0 =\left(1 + \frac{(\epsilon - 1)(1+2\epsilon)^2 + 1}{(1+2\epsilon)^2}\right)g_0 =\left(1 + \epsilon\frac{4\epsilon^2 - 3}{(1+2\epsilon)^2}\right)g_0 < g_0 \end{split}$ dónde

ϵ = R_{1} / R_{0} ≪ 1

$\epsilon = R_1/R_0 \ll 1$ . la desigualdad

g < g_{0}

$g<g_0$ sigue desde

0 < ϵ < \sqrt{3} / 2

$0<\epsilon<\sqrt3/2$ .

Por lo tanto, una montaña "puntiaguda", que podría aproximarse aproximadamente a una esfera, probablemente tendrá una gravedad superficial más baja en su cima que el promedio planetario.

2) Ahora, consideremos una meseta alta (también de la misma densidad $\rho$ ) que se extiende lo suficiente como para que su gravedad en el centro de su superficie pueda aproximarse a la gravedad de una placa infinita, pero aún despreciable en comparación con todo el planeta, es decir, una meseta de altura $h$ y dimensión horizontal $l$ tal que $h \ll l \ll R_0$ .

La aceleración gravitacional de un plano infinito es $g_{\text{plane}} = 2\pi G\sigma$ , dónde $\sigma$ es la densidad superficial, que para la meseta es $\rho h$ . La aceleración gravitacional cuando se está parado en la cima de la meseta es entonces aproximadamente:

\begin{aligned} gramo & = \frac{4 π}{3} GRAMO ρ \frac{R_{0}^{3}}{(R_{0} + h)^{2}} + 2 π GRAMO ρ h = (\frac{R_{0}^{2}}{(R_{0} + h)^{2}} + \frac{3 h}{2}) {gramo}_{0} \\ \equiv (\frac{1}{(1 + 2 ϵ)^{2}} + 3 ϵ) {gramo}_{0} = (1 + \frac{(3 ϵ - 1) (1 + 2 ϵ)^{2} + 1}{(1 + 2 ϵ)^{2}}) {gramo}_{0} \\ = (1 + ϵ \frac{12 ϵ^{2} + 8 ϵ - 1}{(1 + 2 ϵ)^{2}}) {gramo}_{0} < {gramo}_{0} \end{aligned}

$\begin{split} g&=\frac{4\pi}3 G\rho \frac{R_0^3}{(R_0+h)^2} + 2\pi G\rho h = \left( \frac{R_0^2}{(R_0+h)^2} + \frac{3h}2 \right)g_0 \\ &\equiv \left(\frac1{(1+2\epsilon)^2} + 3\epsilon\right) g_0 =\left(1 + \frac{(3\epsilon - 1)(1+2\epsilon)^2 + 1}{(1+2\epsilon)^2}\right)g_0 \\ &=\left(1 + \epsilon\frac{12\epsilon^2+8\epsilon-1}{(1+2\epsilon)^2}\right)g_0 < g_0 \end{split}$ dónde

ϵ = 2 R_{0} / h ≪ 1

$\epsilon = 2R_0/h \ll 1$ . De nuevo, la desigualdad se sigue de

ϵ

$\epsilon$ siendo positivo y suficientemente pequeño. En este caso, menos de

(\sqrt{7} - 2) / 3

$(\sqrt7-2)/3$ .

En ambos casos resulta que la gravedad superficial será inferior a la media planetaria. Es razonable suponer que cualquier montaña razonable será pequeños bultos que, en cuanto a su aceleración gravitatoria, se encuentran entre una bola y una meseta (infinita). Por lo tanto, si se suponen densidades uniformes, serán

Sin embargo, todas las consideraciones anteriores se hicieron bajo el supuesto de una densidad uniforme. Si la montaña tiene una densidad suficientemente alta en comparación con el resto del planeta (menos probable) o si la densidad no uniforme en el planeta se distribuye de manera conveniente (más probable), entonces la gravedad será más fuerte en la cima de la montaña. Pero tenga en cuenta que esto será por las densidades, no por la montaña. En un caso típico, es probable que la gravedad de la superficie sea menor.

jose h · Answer 4

La fuerza de la gravedad varía de un punto a otro en la superficie de la Tierra, porque la tierra no tiene una distribución de masa uniforme. Las imágenes en el enlace que ha proporcionado son evidencia de esto.

La fuerza del campo gravitatorio terrestre está dada por

a = \frac{GRAMO METRO}{r^{2}}

$a=\frac{GM}{r^2}$ dónde

M

$M$ es la masa de la tierra,

G

$G$ es la constante gravitacional, y

r

$r$ es la distancia desde el centro de la tierra.

Dado que es inversamente proporcional a la distancia desde el centro al cuadrado, cuanto más te alejes de la tierra, más débil será la intensidad de este campo.

Pero la fuerza de la gravedad actúa como si toda la masa de la tierra estuviera concentrada en el centro. Esto no es cierto. Si estoy apartado de un acantilado, y si estoy cayendo desde su altura, la geodésica que seguiré será diferente del caso en que no hay acantilado. Lo que dices solo es cierto lejos del objeto, pero cuando estamos cerca de su superficie, se vuelve incorrecto decirlo.
No estaba hablando de acantilados, sino del caso en general.
@josephh. Pero, en general, la Tierra no es una esfera sin características, a menudo habrá una montaña, un acantilado, un rascacielos o una colina cerca. O tal vez el material subterráneo no es uniforme. Si en mi norte (subterráneo) hay muchas cosas pesadas y densas (tal vez hierro), y en mi sur subterráneo hay muchas cavernas vacías, entonces la gravedad donde estoy parado se inclina muy ligeramente hacia el norte.
Lo que dijo @Dast. De hecho, los geofísicos y geólogos utilizan acelerómetros sensibles para localizar minerales densos. Ver en.wikipedia.org/wiki/Gravimetry

Jeppe Stig Nielsen · Answer 5

Si eres un satélite a 6870 km sobre el centro de la Tierra y justo debajo de ti hay un terreno llano, experimentarás algo de gravedad. Si te mueves a otro punto, también a 6870 km sobre el centro, pero esta vez hay una gran montaña debajo de ti, entonces esta vez sentirás una gravedad un poco más grande .

Si eres una persona de pie sobre la superficie de la Tierra, a 6370 km sobre su centro, sentirás algo de gravedad. Si desde allí escalas una montaña de 4 km de altura, después estarás a 6374 km sobre el centro de la Tierra. Debido a que su distancia de la mayor parte de la Tierra aumenta, la gravedad que siente es ligeramente menor .

(En ambos ejemplos, la latitud debe ser la misma antes y después; de lo contrario, el achatamiento de la forma de la Tierra (y en el segundo ejemplo también la fuerza centrífuga relacionada debida a la rotación de la Tierra) influirá en el resultado).

aystack · Answer 6

Miré el enlace que diste, creo que puede no querer decir que cuanto más alto vas en una montaña, más fuerte es el campo gravitatorio. Supongo que el significado del enlace (porque mencionaron que lo miden los satélites, supongo que estaba midiendo los campos de gravedad a la altitud de los satélites, que supuestamente se mantuvo igual durante toda la medición) es algo así: midieron la gravedad en el misma altitud en todo el mundo, y descubrió que a esta altitud y en lugares con cadenas montañosas justo debajo, como el Himalaya, debido a la alta concentración de masa, el campo de gravedad es más fuerte. Mientras que al mismoaltitud y en lugares con fosas oceánicas justo debajo, como la Fosa de las Marianas, debido a la baja concentración de masa, miden un campo de gravedad débil, como se esperaba.

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