Problema infinito: ¿Por qué la gravedad g=0g=0g=0 es cero en el centro de la Tierra si, según la fórmula de gravedad de Newton, g=GM/R2g=GM/R2g=GM/R^2? [duplicar]

¿Por qué no funciona g=G∗M/R2?

Hay dos regiones a considerar; la región exterior de la Tierra y la región interior.

La solución interior (densidad de masa distinta de cero) y la solución exterior (densidad de masa cero) son diferentes pero deben dar el mismo valor en el radio de la superficie.

Suponiendo una densidad de masa uniforme en el interior, la aceleración gravitacional en el interior es proporcional al radio y, por lo tanto, tiende a cero en el centro.

Credito de imagen

Para ampliar la respuesta de @Alfred,

La atracción gravitacional de la Tierra a medida que excavas en la Tierra se debe solo a la masa de la Tierra encerrada por la esfera definida por el radio en el que te encuentras (ver la derivación del teorema de Gauss para una prueba de esto). Por lo tanto, a medida que se adentra más en la Tierra, la cantidad de masa que lo atrae hacia el centro disminuye y la forma de la ecuación que citó cambia.

Fuera de la tierra (tal que$R > R_E$), como dijiste, la aceleración gravitacional es (clásicamente),

$$g = \frac{G M}{R^2}$$

Pero una vez que entras en la tierra (en un radio tal que$R < R_E$), la masa que te atrae gravitacionalmente se hace más pequeña, de acuerdo a la relación del volumen de la esfera dentro de tu radio, y la esfera dentro del radio de la Tierra$^1$.

$$M(R) = M \frac{\frac{4}{3} \pi R^3}{\frac{4}{3} \pi R_E^3}$$ $$M(R) = M \left(\frac{R}{R_E}\right)^3$$

Insertando eso en la ecuación anterior, encontramos que la aceleración para$R < R_E$es

$$g = \frac{G}{R^2} M \left(\frac{R}{R_E}\right)^3$$

Simplificando eso nos da

$$g = \frac{G M}{R_E^3} R$$

Como la primera parte de ese término es una constante, podemos decir$\alpha = \frac{G M}{R_E^3}$, y

$$g = \alpha R$$

Esta es una ecuación lineal simple (vea la parte de la línea del gráfico en la respuesta de @Alfred), que va a cero, no a infinito, como$R$va a cero.

$^1$*Tenga en cuenta que esta es una simplificación basada en que la Tierra tiene una densidad uniforme. Definitivamente ese no es el caso, pero dado que la cantidad de masa dentro de un radio más pequeño es menor de todos modos, servirá para nuestro propósito de determinar el comportamiento límite de la aceleración gravitacional cuando R tiende a cero.*