Límite clásico de la mecánica cuántica

La respuesta corta: No , la mecánica clásica no se recupera en el$\hbar \rightarrow 0$límite de la mecánica cuántica.

El papel ¿Cuál es el límite?$\hbar \rightarrow 0$de la teoría cuántica? (Aceptado para su publicación en el American Journal of Physics) encontró que

Nuestro resultado final es entonces que NM no se puede obtener a partir de QT, al menos mediante un proceso de limitación matemática$\hbar \rightarrow 0$hemos demostrado matemáticamente que la Ec. (2) no se sigue de la Ec. (1).

"NM" significa Mecánica newtoniana y teoría cuántica "QT". Su "Ec. (1)" es la ecuación de Schrödinger y la "Ec. (2)" son ecuaciones de Hamilton. La página 9 de este artículo más reciente (por mí mismo) trata precisamente la cuestión de por qué ninguna función de onda en el espacio de Hilbert puede dar una probabilidad de función delta clásica.

El límite clásico se logra solo si el sistema cuántico está en estados lo suficientemente agradables. Los estados en los que el límite clásico tiene sentido se denominan estados coherentes. Por ejemplo, los estados coherentes de Glauber de un oscilador anarmónico están etiquetados por las coordenadas clásicas del espacio de fase$(q,p)$.

Si el sistema está en un estado coherente entonces para cada observable$A$con$\langle A\rangle = \overline A$, la varianza$\langle (A- \overline A)^2 \rangle$decenas a cero en el límite$\hbar\to 0$. Además, la dinámica se reduce en el límite a la de un sistema clásico en el espacio de fase correspondiente.

Para el estado coherente de Glauber, esto está relacionado con el límite clásico de las funciones de Wigner; ver, por ejemplo,
http://www.iucaa.ernet.in:8080/xmlui/bitstream/handle/11007/206/256_2009.PDF?sequence=1
Pero la declaración anterior se puede probar para muchas clases de estados coherentes y muchos espacios de fase, no solo para estados coherentes de Glauber. Para el caso de estados coherentes relacionados con la cuantización de Berezin, consulte, por ejemplo, https://arxiv.org/abs/math-ph/0405065

Hay una gran cantidad de artículos muy citados sobre el límite clásico, por ejemplo,
https://projecteuclid.org/journals/communications-in-mathematical-physics/volume-71/issue-3/The-classical-limit-of- funciones de partición cuántica/cmp/1103907536.full
http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103859623

Si uno está realmente interesado, este ensayo de Lubos Motl explica cómo los campos clásicos emergen de los mecánicos cuánticos.

Cito la introducción:

Después de un breve resumen de las reglas de la mecánica cuántica, presento el "límite matemático" ampliamente enseñado basado en la pequeñez de la constante de Planck. Sin embargo, eso no explica completamente por qué el mundo nos parece clásico. Discutiré dos situaciones algo diferentes que, sin embargo, cubren casi todos los ejemplos de una lógica clásica que surge del punto de partida cuántico:

1. Campos coherentes clásicos (por ejemplo, ondas de luz) que aparecen como un estado de muchas partículas (fotones)

2. Decoherencia que nos hace interpretar las partículas absorbidas como objetos puntuales y que hace que las superposiciones genéricas de objetos macroscópicos no sean adecuadas para preguntas bien definidas sobre hechos clásicos.

El enlace de Qmechanics ofrece una buena ilustración del límite clásico de la ecuación de Schrödinger.

Re su pregunta sobre la posición: es posible obtener la posición con una precisión arbitraria en la mecánica cuántica. El problema es que el principio de incertidumbre significa que el impulso se vuelve infinitamente incierto. Como$\hbar \rightarrow 0$se hace posible obtener tanto la posición como el impulso con una precisión arbitraria.

no, la función de onda no se acerca a la función delta en el límite clásico. el paquete de función de onda aún se propaga y se enreda con el medio ambiente. Lo que los libros de texto no te dicen es que necesitas decoherencia para llegar al límite clásico.

Si alguien te ha dicho que la física clásica es el límite ℏ→0 de la mecánica cuántica, esa persona está equivocada. Un problema al intentar comprender la dispersión de la función de onda en el límite clásico tomando ℏ≈0 o tomando el límite ℏ→0 es que en realidad ℏ≠0. Tomando el valor real distinto de cero de ℏ, hay casos de objetos perfectamente ordinarios para los que el teorema de Ehrenfest no implica nada parecido al comportamiento clásico. Más bien, la función de onda de ese objeto se extiende mucho con el tiempo. Vea el artículo de Zurek y Paz sobre la teoría mecánica cuántica de la órbita de la luna Hiperión de Saturno:

https://arxiv.org/abs/quant-ph/9612037

El límite clásico es en realidad el resultado de la decoherencia y la información que se copia de los objetos "clásicos" en el entorno:

https://arxiv.org/abs/quant-ph/0703160