Tensor de campo de calibre de Wilson Loop

Es posible introducir el campo de calibre en un QFT únicamente con argumentos geométricos. Para simplificar, considere QED, comenzando solo con fermiones y viendo cómo emerge naturalmente el campo de calibre. La observación es que la derivada del campo de Dirac no tiene una transformación bien definida, porque:

$$n^\mu \partial_\mu \,\psi = \lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}\big[\psi(x+\epsilon n)-\psi(x)\big],$$ es decir, la derivada combina dos campos en diferentes puntos del espacio-tiempo (que tienen diferentes reglas de transformación). Necesitamos introducir un transportador paralelo. $U(y,x)$que se transforma como $$U(y,x) \rightarrow e^{ig\alpha(y)}U(y,x) e^{-ig \alpha(x)},$$ tal que podemos adaptar la definición de la derivada en una derivada covariante, que se transforma de una manera bien definida: $$n^\mu D_\mu \,\psi = \lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}\big[\psi(x+\epsilon n)- U(x+\epsilon n,x)\psi(x)\big].$$ A partir de argumentos geométricos, es sencillo mostrar que el transportador paralelo es una línea de Wilson: $$U(y,x) = \mathcal{P}\,e^{ig\int\limits_x^y dz^\mu\, A_\mu(z)},$$ que introduce un nuevo campo, a saber, el campo calibre $A_\mu$. Véase, por ejemplo, el capítulo 15 de Peskin & Schroeder para obtener más detalles.

Sin embargo... Donde el término de interacción$\bar{\psi} A_\mu \psi$surgido de forma natural, no veo en absoluto cómo emergen los términos cinéticos. La forma estándar de proceder es considerar un bucle de Wilson (una línea de Wilson en un camino cerrado) y usar el teorema de Stokes:

$$\text{exp}\left\{ig\oint_\mathcal{C}dx^\mu\, A_\mu \right\} = \text{exp}\left\{ig\int_\Sigma dx^\mu \wedge dx^\nu\,\left(\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \right)\right\},$$ donde por supuesto $\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \equiv F_{\mu\nu}$. En Peskin & Schroeder, luego consideran un pequeño bucle rectangular y ven que en el límite $\epsilon\rightarrow 0$, $F_{\mu\nu}$es invariante. Pero ¿cuál es el punto? Quiero decir, la ley de transformación para $A_\mu$se calcula fácilmente a partir de la definición del bucle de Wilson: $$A_\mu\rightarrow A_\mu+\partial_\mu \alpha,$$ haciendo $F_{\mu\nu}$invariante por definición: $$F_{\mu\nu}\rightarrow \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu +\square \alpha-\square \alpha.$$

Me hubiera gustado ver un cálculo, a partir de una parametrización de bucle particular, que naturalmente condujera a los términos cinéticos correctos en el Lagrangiano, como fue el caso del término de interacción. En otras palabras

$$\text{exp}\left\{ig\oint_\mathcal{C}dx^\mu\, A_\mu \right\} \leadsto -\frac{1}{4}\left(F_{\mu\nu}\right)^2,$$ pero no tengo idea de como hacerlo.

¿O la idea es simplemente 'mira, he encontrado algunos términos derivados cuadráticos que son invariantes, ahora déjame jugar un poco y poner su cuadrado en$\mathcal{L}$'? En caso afirmativo, entonces ¿por qué Peskin y Schroeder se molestan en calcular una parametrización de bucle (p484), si usar el teorema de Stokes hubiera sido suficiente para encontrar$F_{\mu\nu}$¿en algún lugar?

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Basado en los comentarios, algunas aclaraciones. Esta no es una pregunta sobre por qué necesitamos términos cinéticos o cómo les gustaría. Sé perfectamente cómo construir el SM Lagrangian de la manera estándar. Tienes un campo vectorial$A_\mu$, necesita términos cinéticos, por lo que usa una estructura similar a Klein-Gordon, adáptela un poco (debido al comportamiento de calibre de$A_\mu$) y así. QFT estándar.

Pero todo esto es manual , casi un poco de prueba y error, poniendo en términos porque sabes que funcionan como deberían. Es como hacer el Lagrangiano como un rompecabezas: simplemente coloca las piezas que encajan. No hay problema con eso, funciona y es una forma ampliamente aceptada de hacer física, pero desde un punto de vista teórico, no es tan elegante.

Pero podemos hacerlo de una manera más elegante. Si comenzamos solo desde un campo de Dirac y la ecuación de Dirac, entonces puramente por argumentos matemáticos y geométricos, aparece el campo de calibre, como se discutió anteriormente. La pregunta es si también podemos hacer que los términos cinéticos para el campo de calibre aparezcan puramente basados ​​en argumentos matemáticos y geométricos. Si cree en el libro QFT de Peskin & Schroeder, puede hacerlo, comenzando desde un bucle de Wilson (como se discutió anteriormente, consulte las páginas 484-494). Pero luego terminas con un factor$\epsilon^4$, el área del bucle al cuadrado, frente al tensor de campo. Podría restringirse a una clase de bucles con área$S=1$, pero hay dos problemas con eso:

• En el cálculo, se expandió el exponente y la integral, usando el hecho de que$\epsilon <\!\!< 1$. Esto contradice nuestra restricción.$S=1$.
• Esta restricción invalida un poco la elegancia, ya que ahora se debe afinar el área del bucle. Esperaba encontrar algo como 'en el límite$\epsilon\rightarrow 0$, el tensor de campo es lo que queda'.

Entonces, ¿no es posible obtener los términos cinéticos para el campo de norma puramente a partir de argumentos geométricos?

Si la respuesta es no, no tiene sentido alardear de la aparición natural del término de interacción. No es elegante cuando el término de interacción surge de forma natural, pero hay que elegir a mano los términos cinéticos. Por un lado, ¿cómo prueba que el campo que emerge naturalmente (términos de interacción) y el que usted pone (términos cinéticos) son el mismo campo?