Quark composición del pión neutro

La razón por la que los signos se invierten de lo esperado tiene que ver con el hecho de que el antiquark se transforma de manera opuesta bajo las rotaciones de isospín. Si el doblete de quark ordinario es un vector columna

$$q=(u, d)^T$$ y se transforma bajo rotaciones como $$q\rightarrow U(R) q$$ el doblete antiquark es un vector fila $$\bar{q}=(\bar{u}, \bar{d})\rightarrow \bar{q} U(R)^\dagger.$$

Pero$SU(2)$tiene una propiedad especial llamada ser "pseudoreal", por lo que podemos escribir los antiquarks como un vector columna que se transforma normalmente como

$$(-\bar{d}, \bar{u})^T\rightarrow U(R)(-\bar{d}, \bar{u})^T$$ Esto está relacionado con la matriz de Pauli. $\sigma_2$siendo como un operador de conjugación de carga si está familiarizado con eso.

Para hacer la adición de isospín de la manera ordinaria, necesitamos tanto el quark como el antiquark en la misma representación, por lo que el singlete$|\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle$es en este caso

$$u\bar{u}-d(-\bar{d})$$ por lo que recogemos un signo más.

Entendamos esto desde el punto de vista de que los piones son bosones pseudogoldstone. Supongamos para el caso de$SU_{L}(2)\times SU_{R}(2)$tenemos forma bilineal

$$\tag 0 L_{qq} = \bar{q}_{i}q_{i}, \quad i = u, d$$ Como sabemos, a continuación $\Lambda_{QCD}$escala rompiendo espontáneamente el grupo de simetría hasta el grupo diagonal $SU_{V}(2)$surge Mediante el uso de la técnica habitual, podemos extraer el grado de libertad de Goldstone de los campos de quarks, $$q_{i} \equiv (U\tilde{q})_{i}, \quad U \equiv \text{exp}\left[ i\gamma_{5}\frac{\epsilon_{a}t_{a}}{f_{\pi}}\right],$$ dónde $t_{a}$son matrices de Pauli y $\epsilon_{a}$son parámetros dependientes de coordenadas de valor real, y luego reemplazan formas bilineales a VEV: $$\tag 1 \bar{\tilde{q}}_{i}\tilde{q}_{j} \to V\delta_{ij}, \quad \bar{\tilde{q}}_{i}\gamma_{5}\tilde{q}_{j} \to 0$$ Tenga en cuenta que $\epsilon_{a}t_{a}$puede ser parametrizado, mediante el uso de forma explícita de matrices de Pauli, en una forma $$\tag 2 \epsilon_{a}t_{a} = \begin{pmatrix} \frac{\pi^{0}}{\sqrt{2}} & \pi^{-} \\ \pi^{+} & -\frac{\pi^{0}}{\sqrt{2}}\end{pmatrix},$$ dónde $\pi^{\pm} \equiv \epsilon_{1} \pm i\epsilon_{2}$. Como vemos, obtenemos explícitamente un grado de libertad neutral, $\pi^{0}$, y dos cargados, $\pi^{\pm}$. Ahora calculemos la amplitud de transición de un pión desde $(0)$, $$\langle 0 | \bar{q}_{i}q_{i}|\pi^{0}\rangle,$$ mediante el uso $(1)$y $(2)$. Inmediatamente obtenemos que $$\langle 0 | \bar{q}_{i}q_{i}|\pi^{0}\rangle \equiv \frac{i}{\sqrt{2}f_{\pi}}\langle 0|\bar{\tilde{q}}_{i}t_{3}^{ij}\tilde{q}_{j}\pi^{0}|\pi^{0}\rangle \simeq \frac{i}{\sqrt{2}f_{\pi}}\langle 0|\bar{\tilde{u}}\tilde{u}-\bar{\tilde{d}}d|0\rangle,$$ que inmediatamente da declaración de que el pion es una combinación de $uu, dd$con el signo menos porque es la parametrización del grado de libertad de Goldstone en caso de rotura $SU_{L}(2)\times SU_{R}(2)$grupo, no $U_{L}(2)\times U_{R}(2)$. La combinación con el signo "más" corresponde a la parametrización de $U(1)$grupo. Como sabes, esto es $\eta$mesón para $SU_{L}(2)\times SU_{R}(2)$grupo y $\eta{'}$mesón para $SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$grupo. Por supuesto, estas combinaciones aparecen en la naturaleza.