¿Qué significan las derivadas en estas ecuaciones de Hamilton?

Restrinjamos la discusión a una dimensión espacial por simplicidad.

¿Qué está pasando con las derivadas parciales?

El lagrangiano es una función de dos variables reales. Comúnmente etiquetamos estas variables$q, \dot q$por su significado físico. Por ejemplo, el lagrangiano de un oscilador armónico simple unidimensional es

$$\begin{align} L(q, \dot q) = \frac{1}{2}m \dot q^2 -\frac{1}{2}k q^2 \end{align}$$ Tenga en cuenta que podríamos haber escrito fácilmente $$\begin{align} L(\heartsuit, \clubsuit) = \frac{1}{2}m\clubsuit^2 - \frac{1}{2}k\heartsuit^2, \end{align}$$ porque solo estamos usando etiquetas para las dos ranuras que pueden ser cualquier símbolo que elijamos. Sin embargo, es conveniente ceñirse a una etiqueta particular, porque entonces podemos usar alguna notación conveniente para las derivadas parciales. Por ejemplo, si usamos el $q, \dot q$etiquetado, entonces las expresiones $$\begin{align} \frac{\partial L}{\partial q}, \qquad \frac{\partial L}{\partial \dot q} \end{align}$$ significar las derivadas de $L$con respecto a su primer y segundo argumento ("slots") respectivamente. Pero observe que si hemos usado el segundo etiquetado anterior, podríamos haber escrito con la misma facilidad $$\begin{align} \frac{\partial L}{\partial \heartsuit}, \qquad \frac{\partial L}{\partial \clubsuit} \end{align}$$ para las mismas derivadas.

¿Qué es exactamente el hamiltoniano... realmente?

Ahora, el hamiltoniano también es una función de dos variables reales, y convencionalmente las llamamos$q$y$p$, pero ¿cómo se genera esta función a partir de un lagrangiano dado?$L$? Bueno, debemos tener cuidado aquí porque aquí es donde los físicos tienden a abusar de la notación.

Lo que hacemos es primero definir una función$\bar p$(el momento canónico conjugado a$q$) como una cierta derivada del Lagrangiano:

$$\begin{align} \bar p = \frac{\partial L}{\partial \dot q}, \end{align}$$ donde estoy usando el etiquetado convencional para los argumentos del lagrangiano. le puse una barra $p$aquí para evitar los abusos comunes de notación que verás en la física, y para enfatizar las matemáticas reales de lo que está pasando. Nótese, en particular, que en este etiquetado convencional, $\bar p$es una función de dos variables reales $q$y $\dot q$.

A continuación, escribimos la relación

$$\begin{align} p = \bar p(q, \dot q), \end{align}$$ y lo invertimos para escribir $\dot q$en términos de $q$y $p$, entonces ahora tenemos $$\begin{align} \dot q = \text{some expression in terms of $q$, and $p$} = f(q,p), \end{align}$$ Finalmente, definimos $$\begin{align} H(q,p) = p f(q,p) - L(q, f(q,p)). \end{align}$$ Nótese, de nuevo, que fácilmente podríamos haber etiquetado los argumentos de $H$con las etiquetas que quisiéramos, pero una vez que hacemos esto, normalmente nos atenemos a esa etiqueta, en cuyo caso se pueden hacer aquí las mismas observaciones que hicimos anteriormente para las derivadas del Lagrangiano.

Tenga en cuenta que, intuitivamente, lo que sucede aquí es que el hamiltoniano se define "como una función de$q$y$p$; nunca deberías escribirlo "en función de$q$y$\dot q$."

Ejemplo. Considere, de nuevo, el oscilador armónico simple unidimensional. Tenemos

$$\begin{align} \bar p (q, \dot q) = \frac{\partial L}{\partial \dot q}(q, \dot q) = m \dot q \end{align}$$ Así que ahora la relación $\bar p (q, \dot q) = p$es $$\begin{align} m \dot q = p \end{align}$$ y por lo tanto inversión para escribir $\dot q$en términos de $q$y $p$es súper fácil en este caso; $$\begin{align} \dot q = \frac{p}{m} = f(q,p). \end{align}$$ Resulta que $$\begin{align} H(q,p) &= p f(q,p) - L(q, f(q,p)) \\ &= p(p/m) - \frac{1}{2}m(p/m)^2 +\frac{1}{2}kq^2 \\ &= \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}kq^2 \end{align}$$ Ahora, tomando derivadas con respecto a $q$y $p$simplemente significa tomar derivadas con respecto al primer y segundo argumento de esta función de dos variables reales.

¿Qué pasa con las ecuaciones de Hamilton, etc.?

Ahora que sabemos qué es el hamiltoniano y cómo se calcula, abordemos ecuaciones como las ecuaciones de Hamilton:

$$\begin{align} \dot q = \frac{\partial H}{\partial p}, \qquad \dot p = -\frac{\partial H}{\partial q}, \end{align}$$ Nuevamente, su confusión no es sorprendente porque los físicos son conocidos por abusar de la notación en estos casos y no señalarlo.

Para interpretar esto correctamente, notamos que en la formulación hamiltoniana, el estado del sistema en cualquier momento dado$t$consta de un par$(q(t),p(t))$dando el valor de la posición del sistema y de su momento canónico en ese momento$t$. En realidad, para evitar perpetuar confusiones comunes, usemos una notación diferente y escribamos$(\gamma_q(t), \gamma_p(t))$para el estado del sistema en el momento$t$y reserva$q$y$p$para las etiquetas del argumento de$H$.

Entonces las ecuaciones de Hamilton realmente están diciendo que si el par$(\gamma_q(t), \gamma_p(t))$es un movimiento físico realizado por el sistema, entonces

$$\begin{align} \dot \gamma_q(t) = \frac{\partial H}{\partial p}(\gamma_q(t), \gamma_p(t)), \qquad \dot \gamma_p(t) = -\frac{\partial H}{\partial q}(\gamma_q(t), \gamma_p(t)). \end{align}$$ para todos $t$. En otras palabras, obtenemos un sistema de EDO acopladas de primer orden para las funciones $\gamma_q(t), \gamma_p(t)$. Puedes ver, debido a esta notación, que por ejemplo, $\dot q$en las ecuaciones de Hamilton es una bestia diferente que $\dot q$como se usa para etiquetar los argumentos del Lagrangiano. En el primer caso, es una función, en el último caso, es solo una etiqueta.

Siempre puede evitar esta ambigüedad usando diferentes notaciones para estos animales en los diferentes contextos como lo he hecho aquí. Sin embargo, una vez que sepa lo que está haciendo, felizmente puede volver a sobrecargar los símbolos que está usando, y probablemente no cometerá un error ni de procedimiento ni de concepto. De hecho, en la práctica casi todos los que saben lo que están haciendo lo hacen porque es más rápido.

Su sistema tiene dos grados de libertad: necesita especificar 'posición'$q$y 'velocidad'$p$. en el hamiltoniano$p$y$q$por lo tanto, se consideran variables independientes que describen estos grados de libertad.

Para calcular las derivadas parciales, reescriba el hamiltoniano para que solo dependa solo de$p$y$q$, es decir

$$H = \frac{1}{2m}p^2 + \frac{1}{2}kq^2 - qa$$

y usa eso$p$y$q$son independientes por lo que

$$\frac{\partial H}{\partial p} = \frac{1}{m}p$$

y

$$\frac{\partial H}{\partial q} = kq - a$$