¿Cómo evoluciona una distribución de carga con el tiempo? (en electrodinámica clásica)

Conocer la corriente y la carga no te dice los campos. Y conocer los campos no te dice cómo evolucionan la carga y la corriente. Incluso agregando la masa de cada especie y la velocidad de cada especie y la relación carga/masa de cada especie no lo soluciona por completo y aún no le diría los campos.

En cambio, tiene un sistema acoplado de cargos y campos. Y todo eso necesita ser especificado y luego la evolución del sistema mutual necesita ser resuelta. Y se sabe que la versión continua tiene catástrofes. E incluso la versión discreta tiene problemas de reacción a la radiación.

Y a veces esos problemas solo causan problemas pequeños y, por lo tanto, no son un gran problema. E históricamente este fue un problema, y ​​la mayoría de la gente lo abandonó para estudiar electrodinámica cuántica , no lo abandonaron porque lo resolvieron. Entonces, la electrodinámica clásica, como se hace normalmente, tenía fallas, y la mayoría de la gente simplemente se alejó de ella, lo cual está bien si los usuarios actuales conocen las limitaciones.

A menudo se afirma que, en la electrodinámica clásica, una distribución de carga inicial junto con un campo de velocidad inicial determina los campos eléctrico y magnético,

No conozco un solo ejemplo de alguien más que tú que alguna vez haya dicho eso. Pero no es cierto. Por ejemplo, si tiene dos cargas separadas por cinco años luz, una se mantiene en reposo para todos$t\lt t_0$y el otro mantenido en reposo para todos$t$con$|t-t_0-3\rm{yr}|\lt 1\rm{yr}$y durante ese tiempo se vio obligado a oscilar armónicamente a una pequeña amplitud fija y una frecuencia fija de, digamos, la frecuencia de la luz roja.

entonces en$t=t_0$puedes liberar ambas cargas y actuarán como dos cargas que siempre han estado en reposo. Por un momento. De hecho, durante un año. Y luego la radiación de la primera carga llegará a la segunda carga y comenzará a moverse de manera diferente en el caso descrito que en el caso en que ambas siempre habían estado en reposo.

Tenían la misma carga inicial y distribución de corriente en$t=t_0$pero tenían diferentes campos (entonces esa parte no era cierta) y luego tenían una evolución diferente (entonces esa parte tampoco sucedió).

En general, hay muchos campos posibles dada alguna carga inicial y corriente inicial. Por ejemplo, sin cargos, hay muchas soluciones de vacío posibles para Maxwell y puede agregar cualquiera de ellas a una solución no homogénea de Maxwell y obtener otra solución para Maxwell. Tantas soluciones para Maxwell homogéneo conducen a muchas soluciones para Maxwell no homogéneo.

Si desea obtener una solución única, debe usar Jefimenko o Liénard-Wiechert y ambos requerirán conocer el historial completo, no solo la carga inicial y la corriente inicial.

que a su vez determinan unívocamente la dinámica de dicha distribución (cómo evoluciona en el tiempo).

Incluso si de alguna manera obtuviste los campos (como si te los dieran), entonces todo lo que te da es la fuerza. Saber cómo las fuerzas determinan los movimientos no es trivial. Ya, la segunda ley de Newton por sí misma permite múltiples soluciones (como la Cúpula de Norton) y arrojar partículas cargadas lo hace aún más complicado a través de la reacción de radiación y otras complicaciones.

Además, necesitaría la masa de las diferentes especies de partículas cargadas o alguna otra información similar.

Así que cualquier sueño en el que puedas tener un$\rho (\vec r,0)$y$\vec J(\vec r,0)$y obtener dinámicas (obtener$\rho (\vec r,t)$y$\vec J(\vec r,t)$) está condenado por no especificar los campos (y para usar Jefimenko y/o Liénard-Wiechert requiere conocer todo el pasado, no solo el presente). E incluso si tuviera eso, la dinámica no sería trivial debido a la radiación y otros efectos y necesitaría la masa y demás.

Por lo tanto, necesitaría una distribución de masa y un campo de velocidad para cada especie con una relación carga/masa fija. Y luego tendría que especificar los campos (incluidas las posibles soluciones de vacío) o necesitaría un historial pasado para los cargos que incluya las aceleraciones en el pasado. De lo contrario, solo tendría que recibir los campos iniciales. E incluso entonces, una vez que tenga los campos iniciales, la distribución de masa inicial de cada especie y el campo de velocidad inicial de cada especie. Entonces tendrías que lidiar con la dinámica acoplada mutua de cargas y campos, lo cual no es trivial.

Si una especie de partícula tiene una pequeña relación carga/masa y no hay otras fuerzas, entonces se mueve básicamente en línea recta. Si tienen una gran relación carga/masa, las líneas pueden doblarse bastante, y entonces la reacción a la radiación y otras complicaciones se vuelven más relevantes.

Esos son todos los problemas que surgen para las partículas discretas. Así que vamos a llegar a la situación continua. Todo el modelo de fluido tiene problemas, y me referiré a *Inconsistencia, asimetría y no localidad: una investigación filosófica de la electrodinámica clásica" como una fuente general (defectuosa pero) de muchos problemas con la electrodinámica clásica. Y en particular hay una Famoso problema en el que tienes una distribución de carga esférica, por lo que cada capa solo contribuye al campo eléctrico de las capas exteriores y todo puede moverse puramente radialmente y, sin embargo, puedes hacer que las capas iniciales se crucen entre sí.

En general este fenómeno se estudia en el campo denominado teoría de catástrofes. Que es simplemente el nombre técnico. Básicamente muestra que el modelo fluido se descompone. El modelo fluido significa que divides el espacio en regiones y para cada región asignas un vector de velocidad que describe el movimiento colectivo de todas las partículas de esa especie. Luego tomas grupos de regiones y tienes diferentes velocidades para diferentes regiones en el grupo y efectivamente tienes algo así como un campo vectorial. Esto se descompone si las partículas de una región terminan cruzándose con partículas de otra región sin mezclarse.

Imagine un grupo escaso de automóviles a 100 kpm que se dirigen hacia un estacionamiento escasamente estacionado, cuando pasan hay una catástrofe (aunque la escasez significa que no hay colisión, catástrofe es un término técnico, no un término emocional o coloquial) el punto es que aunque los autos son de la misma especie, el modelo de un fluido con una velocidad falla.

Partículas con una baja relación carga/masa que van en líneas muy rectas. Si son escasos y un grupo con alta velocidad se dirige hacia un grupo con baja velocidad, entonces en su mayoría pueden pasar sin cambios (escasos, así que no se acerque y tenga una carga baja a la masa, por lo que actúan de manera similar al polvo, un gas libre de presión , de nuevo polvo es otro término técnico, no una palabra coloquial). Entonces, más tarde, los rápidos deberían salir por el otro lado prácticamente sin cambios y lo mismo con el grupo lento. Un modelo fluido intentaría asignar una velocidad única a toda la colección durante el tiempo que ocuparon la misma región.

Esto estaría bien si fueran lo suficientemente densos para interactuar y tuvieran tiempo suficiente para formar una velocidad colectiva compartida para cada región pequeña.

La catástrofe de la teoría de fluidos proviene de una versión continua de un problema similar, cada capa es empujada hacia afuera pero a diferentes velocidades. La densidad de carga puede variar radialmente. Pero el área de la superficie también varía en diferentes radios y, por lo tanto, puede hacer que las superficies internas sientan una fuerza más fuerte y, por lo tanto, haya una distribución de carga radial y un campo de velocidad radial que es perfectamente normal que se desarrolla con el tiempo para tener inicialmente un radio más pequeño. El caparazón con una velocidad inicial se mueve hacia afuera para cruzar (alcanzar la misma altitud) como un caparazón de radio inicialmente más grande y, por lo tanto, ambos caparazones terminan en el mismo radio al mismo tiempo (una cantidad finita de tiempo) pero con diferentes velocidades. Así que la teoría de los fluidos falla.

Así que podrías tratar de formular la hipótesis de una densidad de fuerza dada por$\rho\vec E+\vec J\times\vec B$o una aceleración proporcional a$\rho\vec E+\rho\vec v\times\vec B$dónde$\vec v$es el valor del campo de velocidad de esa especie en ese punto y la proporcionalidad depende de la relación carga/masa. Pero dado que toda la existencia del campo de velocidad del fluido requiere evitar la catástrofe y, en general, no se puede, este es un problema sin solución.

Pero no es extra desesperado, el problema original era malo. No es el caso que la segunda ley de Newton te dé dinámica. Y la Ley de Fuerza de Lorentz también tiene fallas fatales.

Lo que hace la gente es considerar una situación en la que estos defectos conducen a resultados erróneos mínimos o sin importancia y luego admiten honestamente que sus suposiciones fallan en la situación general. Por ejemplo usando

$$m\vec a=q\vec E+q\vec v\times\vec B$$ no tiene en cuenta la reacción de radiación, pero en muchas situaciones esa falla solo conduce a una pequeña incorrección. Si pretendes que es un resultado exacto, entonces eres deshonesto. Pero a menudo solo está tratando de hacer una predicción lo suficientemente buena para una situación particular.

Algunas personas se ocupan de los problemas de reacción a la radiación de manera iterativa. Usan extrapolaciones adivinadas de la evolución de las cargas para encontrar los campos debido a esas cargas y corrientes y luego usan esos campos para obtener las fuerzas en las partículas y luego usan$\vec F=m\vec a$y la Ley de Fuerza de Lorentz para intentar obtener una nueva evolución de carga prevista y una nueva evolución de corriente prevista. Luego, a partir de estas nuevas predicciones de carga y estas nuevas predicciones actuales, utilizan Maxwell para obtener nuevas predicciones para los campos.

Y luego repiten: usan los nuevos campos para encontrar nuevas fuerzas y obtener predicciones aún más nuevas para la carga y la corriente. Y luego utilícelos para obtener predicciones aún más nuevas para los campos futuros.

Y luego repiten: usan los campos aún más nuevos para encontrar fuerzas aún más nuevas y obtener predicciones aún más nuevas de la carga y la corriente.

Y así sucesivamente y así sucesivamente. Alternando 1) usando cargas dinámicas, campos iniciales y Maxwell para obtener campos dinámicos de campo y 2) usando campos dinámicos, cargas iniciales, corrientes iniciales, masas y Lorentz para obtener cargas y corrientes dinámicas.

Y esto no se trata de encontrar predicciones iterativas para tiempos posteriores. Se trata de hacer iteraciones de predicciones para todos los tiempos futuros, incluso tiempos futuros poco tiempo en el futuro. Y hasta donde yo sé, no hay ningún resultado que diga que este proceso iterativo converge. Pero en muchas situaciones de interés práctico, cada una de estas primeras iteraciones produjo correcciones muy pequeñas si la suposición inicial era buena. Y entonces podemos dejarlo después de un número finito y esperar que sea lo suficientemente bueno para practicar.

Este no es un marco teórico satisfactorio, y las personas que le dicen que la electrodinámica clásica, como se hace normalmente, es consistente y directa están equivocadas o le están mintiendo activamente.

No es simple, y la forma en que muchas personas lo hacen es matemáticamente inconsistente. Pretender que es una teoría más perfecta de lo que es es peligroso e imprudente, por ejemplo, es posible que no pueda predecir la radiación causada por un gran campo magnético que dobla una partícula cargada de alta velocidad en un círculo y que podría dañar los objetos y/o causar lesiones o la muerte. Necesita saber cuándo está utilizando una teoría con limitaciones, para que pueda manejarla con cuidado.

Los libros de texto te darán una teoría del juguete en una situación especial. Por ejemplo, si sacas un libro de texto con una partícula de punto de carga de prueba en un campo externo, van a escribir un Lagrangiano que produce la Ley de Fuerza de Lorentz como las ecuaciones de Euler-Lagrange porque esperan que te guste. O podrían corregir un Lagrangiano para campos con una fuente fija y luego obtener Maxwell como las ecuaciones de Euler-Lagrange porque esperan que les guste.

Y luego puedes fingir$\vec F=m\vec a$es algo que siempre funciona aunque se conocen ejemplos donde no funciona. Y luego puede pretender que conocer un campo externo y obtener una fuerza es todo lo que necesita e ignorar la radiación causada por la partícula que siente la fuerza. Pero eso sería ignorar las limitaciones en lugar de aceptarlas y lidiar con ellas.

Pero en realidad tienes campos iniciales y cargos iniciales y necesitas coevolucionar ambos. Y ese es un tema completamente separado que no es un tema de libro de texto estándar.

Si elige un problema en particular, como lo hace la gente de física de plasma, entonces puede encontrar soluciones aproximadas que sean lo suficientemente buenas para su situación particular. Eso es lo que casi todo el mundo hace casi todo el tiempo.

Seguro que sería más complicado. Un problema es si la distribución de carga es sólida o fluida. Si es sólido (e irrompible) no está tan mal. Usando métodos de integración en Jackson, determine los campos y luego encuentre la fuerza total y el torque en su objeto. Si su objeto no tiene mucha carga, solo vale la pena sobre los campos debido a otras cargas.

Si es fluido, es una combinación de electrodinámica y fluidos llamada física de plasma.

La siguiente es solo una respuesta parcial, ya que no hay una "respuesta general" / que sería complicada para una distribución arbitraria de cargas (por ejemplo, necesitaría la relación carga-masa de las partículas).

Si considera una distribución de carga en un medio conductor, caracterizada por la relación de Ohm$\overrightarrow{j(r)} = \overleftrightarrow{\sigma(r)} \, \overrightarrow{E(r)}$, con$\overleftrightarrow{\sigma(r)}$la conductividad tensorial (local) del medio, entonces puede usar la continuidad de carga ($\frac{\partial \rho}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{j} = 0)$, así como la ecuación de Maxwell-Gauss ($\overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$) para obtener una ecuación completa para la evolución de$\rho$, de donde se puede (en principio), obtener la evolución de$\overrightarrow{E}$y$\overrightarrow{B}$.

Si su medio está hecho de partículas con carga constante$q$, masa$m$y densidad$n(r,t)$+ algunas hipótesis (velocidades no relativistas, retraso insignificante debido a la propagación de la luz, sin radiación de cargas aceleradas), también puede escribir una ecuación similar a la dinámica de fluidos:

$$\frac{\partial m (n(r,t) \overrightarrow{v}(r,t))}{\partial t} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{\nabla} (m \, n(r,t) \overrightarrow{v}(r,t)) = q\, n(r, t)(\overrightarrow{E}(r,t) + \overrightarrow{v}(r,t) \times \overrightarrow{B}(r,t))$$

Esto, combinado con la ecuación de continuidad para$n(r,t)$y$\overrightarrow{j}(r,t)$(tenga en cuenta que$\overrightarrow{j}(r,t) = q n(r,t)$):

$$\frac{\partial q n(r,t)}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla} \cdot (q \, n(r,t) \overrightarrow{v(r,t)} )= 0,$$

así como el$4$Ecuaciones de Maxwell relacionadas$\overrightarrow{E}$,$\overrightarrow{B}$a la densidad de carga y las corrientes, y las condiciones iniciales y de contorno apropiadas, le darán un conjunto completo de ecuaciones diferenciales, que son completamente imposibles de resolver, excepto en casos extremadamente simplificados. ¡Pero puedes probar con números!

En el caso de que su distribución de carga y corriente varíe lo suficientemente lento como para estar en un estado casi estacionario, incluso tiene una fórmula explícita para$\overrightarrow{E}$y$\overrightarrow{B}$, lo que hace que el problema (absolutamente no) sea trivial:

$$\overrightarrow{E}(r,t) = - \overrightarrow{\nabla}_r \left(\frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{n(r',t)}{|\overrightarrow{r} - \overrightarrow{r'}|} d^3r' \right), ~\mathrm{and}$$

$$\overrightarrow{B}(r,t) = \frac{q \mu_0}{4 \pi} \int \frac{n(r',t) \overrightarrow{v}(r',t) \times (\overrightarrow{r} - \overrightarrow{r'})}{|\overrightarrow{r} - \overrightarrow{r'}|^3} d^3r'$$

No está tan lejos de las ecuaciones de la Magnetohidrodinámica y/o la Electrodinámica, que estudian el comportamiento de fluidos conductores y/o cargados. Al agregar viscosidad, radiación, etc. a este problema ya complicado, puede comenzar a comprender por qué se vuelve terriblemente difícil de resolver...