Reloj de luz tangencial de relatividad.

Resumí la pregunta en el párrafo final, si prefiere omitir todos mis fundamentos y trigonometría.

por cierto, he mirado

• Usando relojes de luz, ¿se puede derivar la fórmula de contracción de longitud sin el 'rebote' del fotón?
• ¿Cómo derivo la contracción de Lorentz del intervalo invariante?
• ¿Qué pasa si un reloj de luz viaja perpendicular a los espejos que forman el reloj?

También he realizado algunas investigaciones fuera del sitio (sin mencionar el lujo de aprender algo de esto, hace mucho, mucho tiempo).

Ninguna de las entradas parece cubrir mi punto preciso. Espero que también encuentre que esto no es un duplicado. Hay necesariamente algún escenario y contexto.

Razonamiento

Considere dos relojes de luz, A y B, en el mismo marco de referencia móvil y un observador, O, en reposo.

Estos son inicialmente relojes de luz unidireccionales en los que la luz viaja desde un emisor a un detector. No son relojes de dos vías en los que la luz viaja de regreso a su origen, aunque eso se discute como un control y para mostrar el razonamiento puede derivar la transformada de Lorentz correctamente.

Reloj A: tangencial a la velocidad

El tratamiento del reloj de luz A es el reloj familiar de todos los libros de texto de relatividad especial, lo resumo aquí.

Usé este diagrama a pesar de que es un reloj de dos vías.

El reloj de luz A está orientado para que su luz se mueva tangencialmente a la dirección de movimiento observada. El reloj de luz B está orientado para que su luz se mueva paralela a la dirección de movimiento observada.
En relatividad especial, el efecto de contracción de la longitud se puede derivar aplicando trigonometría básica a la trayectoria de la luz. Esto está bien establecido en los libros de texto, la distancia$D$que O observa la luz en el reloj A para viajar es

$$D^2=\frac{L^2}{\bigg(1-\frac{v^2}{c^2}\bigg)}$$
$L$es la distancia desde el detector de reloj de luz hasta el espejo (en su propio marco de referencia)
$D$es la distancia que recorre la luz en el marco de reposo del observador $v$es la velocidad del cuadro
$c$es la supuesta velocidad de la luz

La suposición necesaria de O de que la velocidad de la luz es constante significa que observa que el reloj A corre más lento en proporción a la mayor longitud del camino; y así obtenemos la contracción de la longitud.

Reloj B: paralelo a la velocidad

Ahora trato de aplicar esta lógica al reloj B. La distancia que O observa que viaja la luz en el reloj B.
En la dirección de avance, la distancia que se mueve el detector es

$$v\delta t$$ La distancia que recorre la luz debe ser esta más L (pero longitud contraída) $$D=L/\gamma+v\delta t$$ donde para el observador otra vez $$\delta t=D/c$$ lamentablemente eso vuelve $$D=\frac{L}{\gamma\bigg(1-\frac{v}{c}\bigg)}$$

D es más grande que L, en el marco de O la luz tarda más en viajar D, por lo que el tiempo en el marco del reloj parece dilatado en O.

Continúo y hago el reloj de dos vías.

Si el reloj B fuera un reloj bidireccional paralelo a la velocidad

OK, determinemos la longitud del viaje de regreso de la luz y agréguela a la longitud del viaje de ida de la luz,$D$en la ecuación anterior. puedo decir

$$c\delta t+v\delta t=L/\gamma$$ (dos "objetos" moviéndose juntos desde una separación de L, uno en v, uno en c) Esto nos da $\delta t$y entonces la longitud del viaje de regreso de la luz es $$D_{return}=\frac{cL}{(c+v)}=\frac{L}{\gamma(1+v/c)}$$ Sumando esto, entonces $$D_{bothways}=\frac{L}{(1+v/c)}+\frac{L}{\gamma(1-v/c)}$$ así que esto funciona $$D_{bothways}=\frac{2L}{\gamma(1-v^2/c^2)}$$ Ahora no lo derivé aquí, pero podemos hacerlo en otro lugar. $$\gamma=1/\sqrt(1-v^2/c^2)$$ Entonces obtenemos, que es el doble de grande para el Reloj A y correcto. $$D_{bothways}=\frac{2L}{\sqrt(1-v^2/c^2)}$$

Conclusión

Las ecuaciones del reloj A y del reloj B no concuerdan... de modo que bajo ciertas circunstancias (¿artificiales?), si

• el efecto que se ve es monodireccional y
• corre paralelo al movimiento del marco (dependiendo de si es en la dirección o en contra de la dirección del movimiento)

Obtendrá diferentes magnitudes de efectos de dilatación del tiempo. Vale, mejor pregunto por esto...

La pregunta

Como comunidad, ya hemos aceptado la contracción de longitud como direccional. Dado que la dilatación del tiempo es una manifestación del mismo efecto, parece lógico aceptar que (bajo algunas condiciones) los efectos temporales relativistas también pueden ser direccionales, por ejemplo, relojes de luz unidireccionales (si tal cosa puede existir).

¿Qué tiene de malo mi aplicación de matemáticas?

Consecuencias

Solo para tratar de hacer que este sem sea relevante, ahora comenzamos a tener un comportamiento extraño si tomamos dos relojes de luz direccional orientados de manera diferente en un hipotético viaje relativista. Comenzarán a contar tiempos diferentes. Entiendo que los relojes de los satélites GPS están compensados ​​de forma relativa. Si los relojes (creo que atómicos) tienen un componente "direccional", ¿es posible que este efecto sea significativo?