La precesión orbital de Mercurio en la relatividad especial

Encontré en un libro italiano (Barone) que usando la precesión de la relatividad especial es 1/6 del 43''/siglo observado. El libro tiene el mérito de tratar un argumento generalmente ignorado (la precesión de órbitas en la relatividad especial), pero encuentro que el tratamiento es muy conciso, así que traté de ser más explícito y relacioné el resultado con una condición inicial específica. Encuentro delicioso este problema y encuentro encantador que este extraño análisis, a pesar de no dar el valor correcto, dé de lleno en el orden de magnitud.

Suponga que tiene en el origen de los ejes el Sol, y considere un planeta, con masa despreciable, con posición inicial y velocidad como en esta figura:

PASO 1: conservación del momento angular en relatividad

Como ocurre en la mecánica clásica, podemos definir$\mathbf M = \mathbf r \times \mathbf F$y$\mathbf L = \mathbf r \times \mathbf p$, encontrando que$\dot {\mathbf L} = \mathbf M$(¿Por qué se ignora este importante tema en los libros de relatividad? Esta ecuación también funciona en relatividad, porque en relatividad también la fuerza es derivada del momento del momento, que tiene la misma dirección que la velocidad).

PASO 2: escribe de otra forma el momento angular relativista

Usando$\mathbf p = \gamma m \mathbf{v}$, velocidad en coordenadas polares ($\mathbf{v} = \dot{r} \hat{\mathbf{r}} + r \dot{\theta} \hat{\mathbf{\theta}}$: uso sombrero para los versores pero no puedo escribir letras griegas en negrita) y escribir la posición del vector como$\mathbf{r} = r \hat{\mathbf{r}}$, podemos escribir el momento angular relativista de esta manera

$$\mathbf L = \frac{m r^2 \dot{\theta}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \mathbf{\hat z}$$ dónde $\mathbf{\hat z} = \hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{\theta}}$(aveces llamado $\mathbf k$). Ahora observa que $$\dot{r} = \bar r \dot{\theta}$$ donde usamos la notación $\bar r = \frac{dr}{d\theta}$. Entonces tenemos eso $v^2 = \dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2$se puede escribir de esta manera $$v^2 = (\bar r^2 + r^2) \dot{\theta}^2$$ Esto nos permite escribir $|\mathbf L|$De este modo $$L = \frac{m r^2 \dot{\theta}}{\sqrt{1-\frac{(\bar r^2 + r^2) \dot{\theta}^2}{c^2}}}$$

PASO 3: escribe la ecuación diferencial que gobierna la órbita

De la ecuación anterior tenemos

$$\dot{\theta}^2 = \frac{1}{\frac{\bar r^2 + r^2}{c^2} + \frac{m^2 r^4}{L^2}}$$ Sustituyendo esto en la conservación de la energía relativista, que usando $v^2 = (\bar r^2 + r^2) \dot{\theta}^2$se puede escribir de esta manera $$E = V + \frac{m c^2}{\sqrt{1-\frac{(\bar r^2 + r^2) \dot{\theta}^2}{c^2}}}$$ obtenemos, después de algunos cálculos, $$E = V + mc^2 \sqrt{1+ \frac{L^2 (\bar r^2 + r^2)}{m^2 r^4 c^2}}$$ De donde obtenemos esta ecuación diferencial $$\left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2 + r^2 = \frac{r^4}{L^2 c^2} \left[ (E-V)^2 - m^2 c^4 \right]$$ Ahora "solo" tenemos que resolverlo.

PASO 4: simplificar la ecuación diferencial

sustituyendo$u=\frac{1}{r}$(Darse cuenta de$\frac{dr}{d\theta} = - \frac{1}{u^2} \frac{du}{d\theta}$) en la DE obtenida, y multiplicando por$u^4$, obtenemos

$$\left( \frac{du}{d\theta} \right)^2 + u^2 = \frac{1}{L^2 c^2} \left[ (E-V)^2 - m^2 c^4 \right]$$ Nuestra energía potencial es $V=\frac{-\alpha m}{r}$(dónde $\alpha = G M_\odot$), entonces $$\left( \frac{du}{d\theta} \right)^2 + u^2 = \frac{1}{L^2 c^2} \left[ (E+\alpha m u)^2 - m^2 c^4 \right]$$ Hacer derivada en $\theta$: $$2 \frac{du}{d\theta} \frac{d^2 u}{d\theta^2} + 2 u \frac{du}{d\theta} = \frac{1}{L^2 c^2} \left( 2 \alpha^2 m^2 u \frac{du}{d\theta} + 2 E \alpha m \frac{du}{d\theta} \right)$$ Dividido por $2 \frac{du}{d\theta}$y reorganizar de esta manera: $$\frac{d^2 u}{d\theta^2} + u = \frac{\alpha m}{L^2 c^2} (E + \alpha m u)$$ Puedes comprobar que esta ecuación se puede escribir de esta manera $$\frac{d^2 u}{d \theta^2} + q^2 u = \frac{q^2}{p}$$ dónde $$q = \sqrt{1-\frac{\alpha^2 m^2}{L^2 c^2}}$$ y $$p = \frac{L^2 c^2 - \alpha^2 m^2 }{\alpha m E}$$ Entonces, con la sustitución $w = u - \frac{1}{p}$obtenemos (nótese que $\frac{d^2 u}{d \theta^2} = \frac{d^2 w}{d \theta^2}$porque $p$es constante) $$\frac{d^2 w}{d \theta^2} + q^2 w = 0$$

PASO 5: la forma de la órbita

Escriba de esta manera la solución de la ED que obtuvimos

$$w = A \cos \left[ q (\theta - B) \right]$$ dónde $A$y $B$son constantes arbitrarias. Haciendo al revés las sustituciones que hicimos ( $u=w+\frac{1}{p}$y $r=\frac{1}{u}$) obtenemos $$r = \frac{p}{1+e \cos \left[ q (\theta - B) \right]}$$ donde llamamos $e$el $Ap$constante. Imponiendo la condición inicial de la figura ( $\mathbf{r}_0 = r_0 \hat{\mathbf{x}}$y $\mathbf{v}_0 = v_0 \hat{\mathbf{y}}$), implica que en $t=0$( $\Rightarrow$el inicio $\theta = 0$) tenemos $\frac{dr}{d\theta} = 0$(podemos poner simplemente $B=0$) y $r=r_0$(entonces $e=\frac{p}{r_0}-1$) $$r (\theta) = r_0 \frac{ \frac{p}{r_0} }{1 + \left( \frac{p}{r_0} -1 \right) \cos (q \theta)}$$ donde (conectar $p$y $q$al valor inicial, explotamos el hecho de que en $t=0$momento angular es $L=\gamma_0 m r_0 v_0$, mientras que la energía es $E = \gamma_0 mc^2 - \frac{\alpha m}{r_0}$: solo tenemos que sustituir estas constantes $E$y $L$en $q$y $p$previamente escrito) $$q = \sqrt{1-\frac{\alpha^2 (c^2 - v_0^2)}{c^4 r_0^2 v_0^2}}$$ y $$p = \frac{ \frac{r_0^2 v_0^2 c^4}{c^2 - v_0^2} - \alpha^2 }{ \alpha \left( \frac{c^3}{\sqrt{c^2 - v_0^2}} - \frac{\alpha}{r_0} \right) }$$

Si$c \to \infty$obtenemos$q \to 1$y$p \to \frac{r_0^2 v_0^2}{\alpha}$: tenemos la órbita elíptica clásica, como debe ser.

En las situaciones ordinarias, el efecto relativista es muy pequeño, pero podemos ver gráficamente que esta es una órbita de Rosetta al cambiar artificialmente$c$valor a$2 v_0$. En el caso de Mercurio (en unidad SI supondremos$|\mathbf r_0| = 4{,}6 \cdot 10^{10}$y$|\mathbf v_0| = 5{,}9 \cdot 10^{4}$) obtenemos la órbita en la figura (detuve la órbita después de 21$\pi$radianes, la unidad en ejes es$10^6$kilómetros)

PASO 6: estimación de la precesión

observando$r (\theta)$vemos que la distancia es mínima cuando$\cos (q \theta) = 1$, es decir$\theta$es

$$\theta_k = \frac{2\pi}{q} k \qquad \qquad k \in \mathbb{Z}$$ Entre un mínimo y el siguiente mínimo $\theta$cambio de $\theta_{k+1} - \theta_k = \frac{2\pi}{q}$. Restar $2\pi$obtenemos la distancia angular entre dos mínimos: $\Delta \theta = 2 \pi (q^{-1}-1)$. Sustituyendo $q$encontramos $$\Delta \theta = 2 \pi \left[ \left(1-\frac{\alpha^2 (c^2 - v_0^2)}{c^4 r_0^2 v_0^2} \right)^{-\frac{1}{2}} - 1 \right]$$ Pero si $\epsilon \ll 1$obras $(1-\epsilon)^{-\frac{1}{2}} \approx 1+ \frac{\epsilon}{2}$, Así que si $\frac{\alpha^2}{c^2 r_0^2} \ll v_0^2 \ll c^2$podemos usar esta fórmula más simple y deliciosa $$\Delta \theta = \frac{K}{(v_0 r_0)^2} \qquad \qquad \left( K=\frac{\pi G^2 M_\odot^2}{c^2} \approx 6{,}160 \cdot 10^{23} \, \textrm{m}^4 / \textrm{s}^{2} \right)$$ Para Mercurio esta fórmula es explotable y da alrededor de $0{,}017''$/revolución. La revolución de Mercurio dura 88 días, por lo que esto da aproximadamente $7''$/siglo. Exploré el caso en el que la masa gravitatoria del planeta en órbita crece con $\gamma$factor, fue un tour de force pero lo resolví numéricamente y encontré que, al menos para una órbita casi circular y débilmente relativista, $\Delta \theta$simplemente se duplica (1/3 del ángulo observado). Intrigante pero aún estamos lejos de la verdad. $43''$/siglo.

Creo que esta es la precesión de Thomas , que es un efecto cinemático que depende de la forma de la línea de tiempo y es independiente de la naturaleza de la fuerza.

Wikipedia da una aproximación de baja velocidad para la precesión de Thomas de$ω_T=av/2c^2$. Para una órbita circular con radio$r$y velocidad$v$, la precesión por órbita es

$$Δθ = (2πr/v)ω_T = πra/c^2 = πv^2/c^2$$

que está de acuerdo con la fórmula de baja velocidad y baja excentricidad en la respuesta de Fausto Vezzaro (usando$v^2/r=GM/r^2$).

Esta preimpresión obtiene una precesión de Thomas de 7,163″/hyr a partir de un cálculo más cuidadoso que tiene en cuenta la excentricidad. También dice que este es un problema de la relatividad general, lo cual no es cierto (los cálculos en GR incluyen automáticamente "efectos" en SR), pero supongo que el cálculo de la relatividad especial es correcto a pesar de eso.

Esta preimpresión , que fue mencionada en un comentario de Pulsar, deriva un resultado similar sin mencionar la precesión de Thomas, y luego un resultado dos veces mayor (14.3″/hyr, un tercio de la predicción GR) de lo que supuestamente es una predicción más cuidadosa. tratamiento.