Cómo mostrar la órbita circular como una elipse de precesión

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Cómo mostrar la órbita circular como una elipse de precesión

usuario56199

Una distribución uniforme de polvo en el sistema solar añade a la atracción gravitacional del sol sobre el planeta una fuerza adicional lineal en $r$ donde m es la masa del planeta, k es una constante (proporcional a la constante gravitatoria ya la densidad del polvo) y ⃗r es el radio vector del sol al planeta. Esta fuerza adicional es muy pequeña en comparación con la fuerza gravitacional directa del sol y el planeta.

Demuestre que las órbitas casi circulares se pueden aproximar mediante una elipse de precesión y encuentre la frecuencia de precesión. ¿La precesión está en la misma dirección o en dirección opuesta a la velocidad angular orbital?

Puedo calcular la frecuencia de precesión observando la diferencia entre la frecuencia de oscilación pequeña y la frecuencia del movimiento circular. Pero tengo poca idea sobre cómo probar la primera parte. Las sugerencias serían apreciadas.

Mi propio trabajo es el siguiente: -

Euler Lagrange MOE:-

$ma_{r}=\frac{l^2}{mr^3}-\frac{GM_{s}m}{r^3}-mkr$ Linearizando esto da la frecuencia de pequeñas oscilaciones sobre el movimiento circular. $w_{osc}=w_{0}+\frac{3k}{w_{0}}$ dónde $w_{0}$ es la frecuencia del movimiento circular. La diferencia entre las dos frecuencias. $w_{osc}-w_{0}$ puede entenderse como la frecuencia de precesión. No estoy seguro de cómo esta es la precesión de la elipse y cómo se puede demostrar que la elipse de precesión da una órbita casi circular. Will mostrando que la velocidad angular $w_{0}$ siendo un trabajo casi constante?

david hamen

Su pregunta corre el riesgo de ser cerrada como tarea con trabajo insuficiente, cerrada como poco clara o sin respuesta. Necesitas mostrar algo de trabajo, y sería útil decir tu formación académica. Sugerencia: si sabe lo que significa el término "ecuaciones planetarias de Lagrange", debería usarlas. Si eso suena como un idioma extranjero, necesitará usar algo más.

usuario56199

@DavidHammen: hizo los cambios.

doctor zhivago

No es un físico, pero encuentra que la pregunta es bastante válida en un sentido empírico. Dado que tenemos la Ley de los cuerpos grandes Y "lo que está en movimiento tiende a permanecer en movimiento", diría que alguna forma de "tensión superficial interestelar" es realmente difícil de tratar ... y solo finalmente tiene éxito ... para mantener los planetas en una órbita "principalmente circular". Todavía me parece muy extraño el hecho de que Mercurio no está bloqueado por mareas con el Sol (un descubrimiento muy reciente), mientras que la Luna verdaderamente masiva de la Tierra está con la Tierra. ¿Quizás hemos exagerado enormemente la masa del Sol mientras subestimamos enormemente la nuestra?

Respuestas (1)

Cómo mostrar la órbita circular como una elipse de precesión

Su pregunta corre el riesgo de ser cerrada como tarea con trabajo insuficiente, cerrada como poco clara o sin respuesta. Necesitas mostrar algo de trabajo, y sería útil decir tu formación académica. Sugerencia: si sabe lo que significa el término "ecuaciones planetarias de Lagrange", debería usarlas. Si eso suena como un idioma extranjero, necesitará usar algo más.
No es un físico, pero encuentra que la pregunta es bastante válida en un sentido empírico. Dado que tenemos la Ley de los cuerpos grandes Y "lo que está en movimiento tiende a permanecer en movimiento", diría que alguna forma de "tensión superficial interestelar" es realmente difícil de tratar ... y solo finalmente tiene éxito ... para mantener los planetas en una órbita "principalmente circular". Todavía me parece muy extraño el hecho de que Mercurio no está bloqueado por mareas con el Sol (un descubrimiento muy reciente), mientras que la Luna verdaderamente masiva de la Tierra está con la Tierra. ¿Quizás hemos exagerado enormemente la masa del Sol mientras subestimamos enormemente la nuestra?

Diracología · Answer 1

No estoy seguro de cómo esta es la precesión de la elipse y cómo se puede demostrar que la elipse de precesión da una órbita casi circular. Will mostrando que la velocidad angular $w_0$ siendo un trabajo casi constante?

Considere la siguiente figura que muestra el potencial efectivo (línea continua) de una partícula de masa $m$ y momento angular $L$ bajo la fuerza gravitacional $-GMm/r^2$ ,

La órbita circular de radio $r_0$ corresponden a la energía mecánica mínima $-\epsilon<0$ . Perturbar esta órbita significa añadir una pequeña energía mecánica para que la órbita quede limitada entre $r_{min}$ y $r_{max}$ . Siempre que este incremento sea pequeño (la energía mecánica total es menor que cero), la órbita resultante es una elipse. La perturbación puede deberse a la atracción gravitacional de la distribución de polvo que mencionaste.

En este post mío muestro paso a paso la tasa de precesión de una órbita perturbada alrededor de la órbita circular. esta tasa es

Ω = \frac{- \sqrt{F (r_{0})} - \sqrt{- 3 F (r_{0}) - r_{0} F^{'} (r_{0})}}{\sqrt{metro r_{0}}},

$\Omega=\frac{-\sqrt{F(r_0)}-\sqrt{-3F(r_0)-r_0F'(r_0)}}{\sqrt{mr_0}},$ dónde

r_{0}

$r_0$ es el radio de la órbita circular y la fuerza

F

$F$ se descompone en la contribución principal

F_{0}

$F_0$ y la perturbación

F_{p}

$F_p$ ,

F = F_{0} + F_{pag} .

$F=F_0+F_p.$ Si

Ω > 0

$\Omega>0$ luego el eje de la elipse realiza una precesión en sentido contrario a las manecillas del reloj. En tu caso,

F_{0} = - \frac{GRAMO METRO metro}{r^{2}}, F_{pag} = - metro k r .

$F_0=-\frac{GMm}{r^2},\quad F_p=-mkr.$ enchufando en

Ω

$\Omega$ uno obtiene

Ω = \frac{\sqrt{- F_{0} (r_{0}) - F_{pag} (r_{0})} - \sqrt{- F_{0} (r_{0}) - 4 F_{pag} (r_{0})}}{\sqrt{metro r_{0}}} .

$\Omega=\frac{\sqrt{-F_0(r_0)-F_p(r_0)}-\sqrt{-F_0(r_0)-4F_p(r_0)}}{\sqrt{mr_0}}.$ Taylor expandiéndose hasta primer orden alrededor

F_{p} / F_{0}

$F_p/F_0$ da

Ω = - \frac{3}{2} \frac{F_{pag} (r_{0})}{\sqrt{- metro r_{0} F_{0} (r_{0})}} = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{{metro}^{2} k^{2} r_{0}^{2}}{GRAMO METRO {metro}^{2} / r_{0}}} = \frac{3 k}{2} \sqrt{\frac{r_{0}^{3}}{GRAMO METRO}} .

$\Omega=-\frac{3}{2}\frac{F_p(r_0)}{\sqrt{-mr_0F_0(r_0)}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{m^2k^2r_0^2}{GMm^2/r_0}}=\frac{3k}{2}\sqrt{\frac{r_0^3}{GM}}.$

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