¿Cuál es el papel de los paquetes de ondas en las fórmulas de LSZ?

Question

¿Cuál es el papel de los paquetes de ondas en las fórmulas de LSZ?

Física
teoría de la matriz s
teoría de la perturbación
teoría cuántica de campos

Siam

Al derivar fórmulas LSZ, asumimos operadores de creación/aniquilación de partículas asintóticas como:

a_{g, entrada/salida} (pag) \equiv \int d^{3} k gramo (k) a_{En fuera} (k), dónde gramo (k) = Exp (- \frac{(pag - k)^{2}}{2 σ^{2}}) .

$a_\text{g,in/out}\ \ (\mathbf{p})\equiv \int d^3k \ g(\mathbf{k}) a_\text{in/out}(\mathbf{k}), \ \text{where}\ \ g(\mathbf{k}) =\exp\left(-\frac{(\mathbf{p} - \mathbf{k})^2}{2\sigma^{2}}\right).$

Esto se debe a que para obtener estados iniciales/finales tan normalizados se puede definir una convergencia débil de operadores asintóticos de creación/aniquilación, y para ignorar la interacción entre diferentes partículas en estados iniciales/finales. Sin embargo, después de calcular la LSZ, $g(\mathbf k)$ el término se ignora tomando el límite de $\sigma \rightarrow 0$ e integrando sobre $\mathbf{k}$ .

Aquí hay algunas preguntas.

¿Por qué podemos ignorar $g(\mathbf{k})$ en LSZ? Creo que tal límite abandona la localización espacial de las partículas en el estado inicial y final y hace que las partículas interactúen incluso en el estado inicial.
Incluso si tal límite es físicamente correcto, ¿cuál es la diferencia entre asumir el operador localizado $a_\text{g,in/out}(\mathbf{k})$ O no. En otras palabras, ¿por qué deberíamos introducir el $a_\text{g,in/out}(\mathbf{k})$ a pesar de que hacemos que los paquetes de ondas colapsen de todos modos al tomar el límite $\sigma \rightarrow 0$ al final de la derivación?
¿Cuál es la diferencia entre simplemente tomar ondas planas como un estado asintótico y obtener ondas planas colapsando paquetes de ondas? Cuando tomamos el límite $\sigma \rightarrow 0$ , creo que los paquetes de ondas corresponden a la función delta, por lo que no parece tener sentido definir $a_\text{g,in/out}(\mathbf{k})$ y su localidad espacial.

Ya he leído este post y este post , pero nunca lo he entendido claramente.

Referencias

M. Srednicki, QFT ; Capítulo 5.
Peskin y Schroeder, QFT ; secciones 7.1-7.2
Wikipedia, fórmula de reducción LSZ

Respuestas (1)

¿Cuál es el papel de los paquetes de ondas en las fórmulas de LSZ?

usuario1379857 · Answer 1

Aquí radica el problema de todo el galimatías de los paquetes de ondas.

Se podría decir que como la incertidumbre de frecuencia $\sigma \to 0$ , el paquete de ondas se vuelve menos localizado en el espacio y finalmente se convierte en una verdadera onda plana. Entonces, ¿por qué no empezar con $\sigma = 0$ ¿al principio? ¿Por qué tomar el límite?

La cuestión es que no es estrictamente cierto que los paquetes de ondas se localicen más a medida que $\sigma \to 0$ !

Imagine un paquete de ondas con impulso promedio $\vec{k}_0 = \vec{0}$ que comienza en alguna posición $\vec{q}$ en $t=0$ . Imagina lo que sucede cuando $\sigma$ la incertidumbre de la frecuencia aumenta, lo que significa que la incertidumbre del espacio de la posición inicial se reduce. Esto se muestra arriba. Aquí, la región gris es la región donde el valor absoluto del paquete de ondas está dentro de una desviación estándar del promedio. A medida que la incertidumbre del espacio de la posición inicial se hace más pequeña, ¡la incertidumbre del espacio de la cantidad de movimiento se hace más grande! Esto significa que la envolvente se expande más rápido , porque el rango de momentos posibles es mayor.

Esta es la razón por la que el paquete de ondas representado a la izquierda tiene una mayor incertidumbre espacial inicial , pero después de un tiempo es la imagen de la derecha la que tiene una mayor incertidumbre espacial de posición. (Las líneas grises oscuras son las líneas de palabra que la partícula viajaría si tuviera un impulso de $k = \pm \sigma$ .)

La gente suele decir que la relación de incertidumbre de Heisenberg dice que más incertidumbre de posición implica menos incertidumbre de momento. Sin embargo, esto es solo un límite inferior. ¡En tiempos tardíos, la imagen de la izquierda tiene una menor incertidumbre de momento y una menor incertidumbre de posición!

Permítanme ahora introducir el concepto de "zona de interacción". La forma en que se supone que debes pensar sobre la dispersión es que las partículas vienen desde el infinito, interactúan en una gran región del espacio llamada "zona de interacción" y luego algunas partículas se van.

La zona de interacción es la región gris en la imagen de arriba. Entonces, mientras tomamos $\sigma \to 0$ , nuestros "haces" de partículas (las ondas que entran y salen de la zona de interacción) en realidad se vuelven más y más nítidos, y comienzan a verse, desde la distancia, cada vez más como líneas rectas. Sin embargo, ¡la zona de interacción en sí es cada vez más grande! Cuando te estás integrando $\int d^4 x$ en la fórmula de reducción de LSZ, de una manera que realmente se está integrando sobre esta zona de interacción, que se vuelve espacialmente más grande a medida que $\sigma \to 0$ . Sin embargo, debido al orden de los límites que está tomando, en cierto modo hay una zona más grande más allá de la zona de interacción, quizás llamada "zona de dispersión", donde sus partículas entran y salen disparadas en haces delgados.

Esta es la razón para construir cuidadosamente estados asintóticos en la fórmula de reducción LSZ utilizando paquetes de ondas.

Gracias por la maravillosa respuesta. Pero no sé si entiendo completamente tu respuesta, déjame verificar mi comprensión. (1) Incluso si se toma el límite $\sigma \rightarrow 0$ , existe un estado de paquetes de ondas fuera de la "zona de dispersión". (2) Pero tales paquetes de ondas se vuelven mucho más nítidos en la zona de dispersión a medida que tomamos $\sigma$ más grandes, (3) y estos rayos más nítidos entran en la zona de interacción. ¿Es esto correcto? Es decir, tomando $\sigma \rightarrow 0$ medios para ampliar la zona de dispersión, donde los haces se consideran muy delgados.
Dos cosas suceden cuando $\sigma \to 0$ : (1) La zona de interacción se vuelve más grande, y (2) los paquetes de ondas en la zona de dispersión se separan cada vez más, ya que en su "dispersión angular" en una gran esfera 2 se vuelve cada vez más pequeña, y su superposición en el pasado/futuro lejano se convierte en 0.
Tal vez tengo una mejor comprensión. Lamento molestarte, pero déjame revisar mi idea nuevamente. Cuando $\sigma \rightarrow 0$ , (1) en $t=\pm \infty$ , los paquetes de ondas están claramente localizados en el espacio de momentos (vv ampliamente distribuidos en el espacio de posiciones). (2) Sin embargo, a medida que pasa el tiempo, estos paquetes de ondas agudas colapsan gradualmente y la incertidumbre de su momento aumenta. (Hasta ahora, estos son eventos en la "zona de dispersión") (3) Por último, entran en la "zona de interacción", con su incertidumbre de posición/momento es pequeña. ¿Coincide esta idea con la tuya? Te agradecería si pudieras responder cuando tengas tiempo.
Esa no es la idea. Piense en la mecánica cuántica no relativista, con el hamiltoniano libre $\hat H = \hat p^2 / 2m$ . Si escribes la función de onda en la base del momento, $\tilde{\psi}(p)$ , entonces bajo la evolución del tiempo la envolvente $|\tilde{\psi}(p)|^2$ permanecerá constante en el tiempo. Entonces, la "propagación" en el espacio de momento, $\sigma$ , en realidad se mantiene constante en el tiempo. Sin embargo, si tuviera que mirar la envolvente del espacio de posición del estado, $|\psi(x)|^2$ , encontraría un paquete de ondas gaussianas que se "expande" a medida que avanza el tiempo (en última instancia, porque hay un rango de momentos posibles).
Entonces, en la zona de dispersión, la incertidumbre del espacio de cantidad de movimiento $\sigma$ de los paquetes de ondas es constante. Ahora bien, es cierto que la incertidumbre del espacio de posición crece a medida que los paquetes de ondas se alejan cada vez más de la zona de interacción. Sin embargo, están extremadamente bien localizados entre sí, se ven como "rayos" o "líneas rectas" cuando se aleja y, por lo tanto, no se superponen en la zona de dispersión.
Aquí hay un video de $|\psi(x)|$ y $|\tilde{\psi}(p)|$ evolucionando en QM no relativista. youtube.com/watch?v=F2Tt80NhmyQ&t=41s Lamentablemente, no muestra las partes real e imaginaria de $\tilde{\psi}(p)$ , pero solo adquiere un $p$ fase dependiente $e^{-ip^2 / 2m t}$ . Observe cómo la incertidumbre del impulso es constante en el tiempo, pero la incertidumbre de la posición crece con el tiempo.
Oh, entiendo mal y olvido algunos conceptos. Ahora puedo entender lo que dices. Traté $\sigma=0$ , y nos lleva a una onda plana completa, que no podemos ver en línea recta incluso si nos alejamos porque se extienden por toda la región. Pero $\sigma$ es infinitesimal, por lo que podemos tratarlos como rayos delgados al alejarnos, y una zona de interacción muy grande, siguiendo el hecho $\sigma$ es infinitesimal, nos permite alejarnos. Siento que finalmente entendí. ¡Gracias por su ayuda!

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