¿Por qué la mecánica de fluidos continuos es precisa cuando los constituyentes son objetos discretos de tamaño finito?

Hay muchas intuiciones físicas a menudo presentadas en varios textos sobre dinámica de fluidos. No los mencionaré aquí. Sin embargo, mencionaré que matemáticamente el paso del punto de vista de una partícula a un punto de vista continuo es todavía un problema en gran parte sin resolver. (Con una interpretación adecuada, Hilbert ya planteó este problema como el sexto de 23 problemas).

Podemos interpretar el problema como uno de partir de "una descripción newtoniana de partículas que interactúan a través de colisiones" y tratar de terminar con "una aproximación del sistema físico por un continuo que obedece ciertas leyes de la dinámica de fluidos (Euler, Navier-Stokes, etc. .)"

La mayor parte del trabajo hasta ahora da un paso intermedio a través de la ecuación de Boltzmann : en este modelo de teoría cinética , en lugar de partículas individuales, consideramos distribuciones de partículas, donde la "densidad" de las partículas se da en función de la posición y la velocidad. Entonces hace un nivel de aproximación continua. Pero aún mantiene la faceta de la teoría newtoniana donde las partículas interactúan a través de colisiones directas. Bajo un supuesto conocido como caos molecular(más sobre esto más adelante), que la ecuación de Boltzmann se deriva de las leyes newtonianas del movimiento ha sido demostrado, con diversos grados de rigor, por el propio Boltzmann, así como por Grad, Cercignani y Lanford, basándose en el trabajo de Bogoliubov, Born, Green , Kirkwood e Yvon. Para una descripción matemáticamente sofisticada, pero más o menos independiente, se puede consultar el artículo de Uchiyama . Hay algunos problemas con esta derivación.

1. El problema de los potenciales. Las derivaciones enumeradas anteriormente asumieron que las partículas son esferas duras : que la única interacción entre dos partículas es cuando realmente chocan (por lo que no hay fuerzas intermoleculares mediadas por electromagnetismo, como enlaces de hidrógeno y demás), y que las partículas son esféricas . Esto es satisfactorio para gases monoatómicos, pero menos para moléculas diatómicas o con formas aún más extrañas. Sin embargo, la mayoría de la gente no piensa en esto como un gran problema.
2. La derivación solo es válida bajo el llamado supuesto de límite de Grad . Para tomar el límite del continuo, generalmente se asume que el diámetro de la partícula se reduce a cero, mientras que el número de partículas (por unidad de volumen) aumenta hasta el infinito. Exactamente cómo se equilibran estos dos límites afecta el aspecto de las leyes físicas en el límite continuo. El límite de Grad asume que el cuadrado del diámetro de la partícula escala como el inverso de la densidad numérica. Esto significa que el volumen real ocupado por las propias partículas (a diferencia del espacio libre entre las partículas) se reduce a cero en este límite. Entonces, en el límite de Grad, en realidad se obtiene un gas infinitamente diluido. Esto es algo así como un problema.
3. La derivación también hace uso de lo que se llama caos molecular.: supone que, en el fondo, el único tipo de colisión que importa es la que se produce entre dos partículas, y que la partícula, después de su colisión, se "olvida" de su anterior zig-zag entre sus primos en el gas diluido. En particular, ignoramos por completo el caso de tres o más partículas que chocan simultáneamente, y más o menos ignoramos el truco del billar como rebotes múltiples. Si bien ambos pueden estar algo justificados en base a la intuición física (el primero por el hecho de que si tiene muchas partículas pequeñas muy separadas, las posibilidades de que tres de ellas golpeen al mismo tiempo son mucho más pequeñas que dos de ellas). chocando; el segundo por el hecho de que asumes algún tipo de equilibrio termodinámico local [de ahí el nombre de caos molecular]),

Partiendo de la ecuación de Boltzmann, se puede llegar a las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes con bastante trabajo. Ha habido mucha literatura matemática reciente dedicada a este problema, y ​​bajo diferentes supuestos (básicamente cómo se comportan los números de Reynolds y Knudsen en el límite) uno obtiene diferentes versiones de las ecuaciones de fluidos. F. Golse escribió un estudio decente de la literatura , mientras que una discusión fuertemente matemática del estado del arte se puede encontrar en Límites hidrodinámicos de la ecuación de Boltzmann de Laure Saint-Raymond .

Quizá sea importante señalar que todavía existen regímenes en los que la conexión entre la ecuación de Boltzmann y los límites de fluidos no se comprende por completo. Y lo que es más importante es tener en cuenta que incluso si las conexiones entre la imagen cinética (Boltzmann) y los límites de fluidos, todavía existen varias suposiciones hechas durante la derivación de la ecuación de Boltzmann. Por lo tanto, todavía estamos bastante lejos de poder justificar rigurosamente la imagen continua de los fluidos a partir de la imagen de partículas de la dinámica newtoniana.

La teoría de los fluidos introduce parámetros materiales en el tensor de tensiones , que ayudan a modelar la sustancia. "El coeficiente de viscosidad es la constante de proporcionalidad que relaciona un gradiente de velocidad en un fluido con la fuerza requerida para mantener ese gradiente. La conductividad térmica es la constante de proporcionalidad que relaciona el gradiente de temperatura a través de un fluido con el flujo de energía, es decir, la ley de Fourier de conducción de calor. Finalmente, el coeficiente de difusión es la constante de proporcionalidad que relaciona el gradiente en la concentración de especies del flujo de masa". Por supuesto, sólo funciona si funciona.

Existe la derivación autoconsistente de las ecuaciones de Navier-Stokes , con varias leyes de conservación. Pero son relevantes para usted las consideraciones relacionadas con la ecuación de Boltzmann , un formalismo para gases en el régimen microscópico. Aquí, para muchos sistemas, puede encontrar valores esperados macroscópicos, que validan la dinámica de fluidos y brindan explicaciones microscópicas para las viscosidades, etc. Por lo general, se dice que los resultados "también son válidos para sistemas líquidos".

Para el límite, se podría suponer una perturbación de la distribución de Maxwell-Boltzmann $f(t,\vec x)$, que depende débilmente del espacio y el tiempo. Esta es la aproximación del tiempo de relajación, o la$0.5^{th}$orden en la teoría de Chapman-Enskog . A partir de esto se pueden calcular las densidades medias (de partículas), las velocidades medias y las energías cinéticas medias (temperaturas). Por ejemplo

$$\vec V:=\langle \vec v\rangle$$ $$T(t,\vec x):=\frac{1}{3}\left\langle m\left(\vec v-\vec V\right)^2 \right\rangle,$$ dónde $\langle\dots\rangle$es la media con respecto a la distribución de partículas dada por $f(t,\vec x)$. Este procedimiento proporciona una velocidad macroscópica/neta y una distribución de temperatura local. Eventualmente cumple una ecuación de estado, como $P=\frac{N}{V}k_B T$, o mejor $$P(t,\vec x)=n(t,\vec x)\ T(t,\vec x),$$ que relacionan cantidades macroscópicas como la temperatura con la presión, que también se da como media y que es parte del tensor de tensión que mencioné anteriormente. Las ecuaciones diferenciales, que gobiernan la dinámica de los fluidos, se derivan en última instancia de la conservación del impulso en ambos casos. Consulte Kerson Huang: Statistical Mechanics, 2nd Edition para obtener una derivación.