Un problema de aproximación [duplicado]

Incluso una cantidad física que cambia en cantidades discretas a menudo puede aproximarse bien mediante una función continua del tiempo.

La derivada es una propiedad de una función matemática. Cualquier función diferenciable debe ser necesariamente continua, y una función continua cambiará en valores arbitrariamente pequeños por un cambio arbitrariamente pequeño en las entradas.

El hecho de que se pueda calcular la derivada de una función no implica que la cantidad física a la que se aproxima esa función también pueda cambiarse en cantidades arbitrariamente pequeñas.

La física se trata de hacer las aproximaciones correctas, con la esperanza de que podamos obtener una visión física real de nuestro problema y hacer predicciones verificables.

Por ejemplo, supongamos que desea calcular la trayectoria de una bala de cañón que ha sido disparada desde un cañón. Sería una tarea de Sísifo dar cuenta de todas las posibles variables que podrían afectar el movimiento de la bala de cañón: resistencia del aire, viento, retroceso de las ruedas del cañón, rotación de la bola, imperfecciones en la superficie de la bola, sustentación, curvatura de la Tierra... Es prácticamente imposible llegar a una lista completa de las cosas que podrían afectarla, ¡y mucho menos tenerlas en cuenta en su cálculo!

Pero, afortunadamente, estos efectos son demasiado pequeños para tener un efecto real sobre si la pelota golpea el objetivo o no. Por lo tanto, puede hacer aproximaciones seguras: suponga que la Tierra es localmente plana, suponga que está en el vacío, suponga que la pelota es una esfera, etc., con la esperanza de hacer que su problema sea manejable. Todos estamos de acuerdo en que la bala de cañón no viaja en una parábola perfecta , como predicen sus sumas, pero está bastante cerca, y tenemos control sobre las partes interesantes del problema.

Aparte : ¿Cómo decides qué efecto es lo suficientemente pequeño como para ignorarlo? Bueno, no hemos dicho nada sobre el hecho de que sus instrumentos tampoco son confiables: tal vez golpeó el cronómetro un poco antes o un poco tarde, o su regla cambió un poco de tamaño con el calor del Sol, o no pudo ubicar el centro del agujero que la bala de cañón hizo en el suelo. Admite que su medida es intrínsecamente inexacta, como lo son todas las medidas, y hace una estimación de la incertidumbre en su respuesta. Es muy probable que nunca veas el efecto de la resistencia del aire en la bala de cañón si es más pequeño que tu incertidumbre. Esta es la razón por la que los científicos se esfuerzan tanto en diseñar instrumentos cada vez más precisos, para que podamos medir la física en escalas cada vez más pequeñas.

Como puede ver, la suposición en la electrodinámica clásica de que la carga es una variable continua es solo una aproximación, al igual que suponer que la bala de cañón es una esfera. Todos sabemos que las cargas vienen en cuantos de$e$, pero si estamos midiendo una carga de 10 culombios, bueno, ¿a quién le importan los electrones?