Rotación libre de un cuerpo rígido

La declaración es realmente sobre la transformación entre coordenadas inerciales y coordenadas fijas al cuerpo. Esto se expresa por:

$$D_t = d_t + \omega(t)\times\tag{1}$$

dónde$D_t$es la derivada "total", es decir, la derivada del tiempo en el marco inercial,$d_t$es la derivada temporal en el marco fijado al cuerpo.

Como no hay momentos de torsión en el cuerpo, el momento angular se conserva en el marco de inercia de modo que$D_t L=0$. Por lo tanto obtenemos:

$$d_t L = -\omega(t)\times L\tag{2}$$

Entonces, en el marco fijado al cuerpo, la derivada temporal de$L$viene dado por un producto cruzado con$L$, por lo que la derivada temporal siempre forma ángulos rectos con$L$. Por lo tanto,$|L|$es constante, pero$L$ciertamente puede cambiar de dirección por (2): su cabeza está restringida a una esfera.

Así que este razonamiento produce$I_{1}^2w_{1}^2 + I_{2}^2w_{2}^2 + I_{3}^2w_{3}^2 = const.$

la otra ecuacion$I_{1}w_{1}^2 + I_{2}w_{2}^2 + I_{3}w_{3}^2 = 2T_{rot}$no se deduce del párrafo al que hizo referencia, pero es correcto, no obstante: en cambio, es una declaración de conservación de la energía cinética de rotación , no del momento angular.

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Por cierto (1) se deriva de la regla de Leibnitz aplicada a la ecuación matricial$X=\exp(H(t))\,Y(t)$dónde$H$es un$3\times 3$matriz sesgada simétrica;$Y$son las coordenadas en el marco fijado al cuerpo,$X$son aquellos en el marco inercial y$\exp(H)$es el operador de rotación total: pensamos en las coordenadas escritas como$3\times 1$vectores de columna En$t=0$(cuando nuestros marcos de coordenadas se alinean instantáneamente) esto produce$\dot{X} = \Omega(t)\,Y + \dot{Y}$, dónde$\Omega(t)$se deriva mediante una complicada fórmula teórica de Lie del sesgo simétrico$H$, pero$\Omega$es, sin embargo, una simetría sesgada$3\times 3$matriz, y por lo tanto se puede representar como un producto cruz$\omega\times Y$.

No tengo ese texto, pero puedo encontrar el índice en Internet. En algún lugar de ese texto (muy probablemente el capítulo 5 sobre sistemas de referencia no inerciales), debería haber una derivación de que para cualquier cantidad vectorial$\boldsymbol q$, la derivada temporal de ese vector en un marco inercial y un marco giratorio que comparten el mismo origen están relacionadas por

$$\left(\frac{d \boldsymbol q}{dt}\right)_\text{inertial} = \left(\frac{d \boldsymbol q}{dt}\right)_\text{rotating} + \boldsymbol \omega \times \boldsymbol q \tag 1$$

Esta es la misma expresión que la primera ecuación en la respuesta de WetSavannaAnimal, pero expresada en términos más consonantes con alguien que lee Fowles & Cassiday.

En el caso especial de un$\boldsymbol q$siendo constante en el marco inercial, lo anterior se reduce a

$$\left(\frac{d \boldsymbol q}{dt}\right)_\text{rotating} = - \, \boldsymbol \omega \times \boldsymbol q$$ Tenga en cuenta que el lado derecho es cero o es normal a $\boldsymbol q$. Esto plantea un concepto importante: la derivada temporal de un vector de longitud constante es cero o es normal al vector en cuestión. Lo contrario también es cierto: si la derivada temporal de un vector es siempre cero o normal al vector en cuestión, la magnitud de ese vector debe ser necesariamente constante. En el caso de rotación sin par, el momento angular es una cantidad conservada en el marco de inercia. Lo anterior significa que desde la perspectiva de un marco fijo al cuerpo, la magnitud del momento angular es constante en el caso de rotación sin par: $$L^2 = \boldsymbol L \cdot \boldsymbol L = (I_1\omega_1)^2 + (I_2\omega_2)^2 + (I_3 \omega_3)^2 = \text{constant} \tag 2$$

Asumiendo que todos los momentos principales de inercia son positivos, esta es la ecuación de un elipsoide. ¿Qué pasa si el marco fijo al cuerpo no está alineado con los ejes principales? Obtendrá una forma cuadrática más desordenada, pero seguirá siendo un elipsoide si esa forma cuadrática es definida positiva. Esta forma cuadrática es definida positiva si y solo si los momentos principales de inercia son positivos y los ejes de ese elipsoide son los ejes principales.

¿Qué pasa con ese otro elipsoide? Una forma de llegar a ese resultado es asumir que la energía cinética se conserva. Esto no es necesariamente una suposición válida. De hecho, falla en el caso de un cuerpo no rígido. Mientras que la energía se conserva (momentáneamente) para un cuerpo no rígido, la energía cinética no lo es. Parte de la energía de rotación se convierte en calor en el caso de un cuerpo no rígido, y ese calor eventualmente se irradia hacia el universo.

Una alternativa es utilizar una vez más el hecho de que se conserva el momento angular. voy a mirar$\frac{d}{dt}(2T) = \frac{d}{dt}(\boldsymbol \omega \cdot \boldsymbol L)$desde la perspectiva del marco giratorio. Esto se expande a$\frac{d\boldsymbol \omega}{dt}\cdot \boldsymbol L + \boldsymbol \omega \cdot \frac{d\boldsymbol L}{dt}$. De lo anterior,$\frac{d\boldsymbol L}{dt} = -\boldsymbol \omega \times \boldsymbol L$. Esto es cero u ortogonal a$\boldsymbol \omega$, por lo que el segundo término de la derecha desaparece. Después de un poco de álgebra (no se muestra), el primer término también desaparece. De este modo$\frac{d}{dt}(\boldsymbol \omega \cdot \boldsymbol L)$es cero; de hecho, la energía cinética se conserva en el caso de un cuerpo rígido que experimenta una rotación sin par:

$$\boldsymbol \omega \cdot \boldsymbol L = I_1{\omega_1}^2 + I_2{\omega_2}^2 + I_3 {\omega_3}^2 = 2T \tag 3$$