Funciones de correlación de respuesta lineal

Question

Funciones de correlación de respuesta lineal

Física
química cuántica
teoría de la perturbación
funciones de correlación

Tiberio

Estoy trabajando en Methods of Molecular Quantum Mechanics de R. McWeeny y me he topado con una derivación que parece que no puedo descifrar.

Entonces, en el capítulo 12, obtiene una expresión para los coeficientes de primer orden de la función de onda perturbada con respecto a una perturbación $H'(t)=F(t)\mathbf{A}$ . $\mathbf{A}$ es un operador hermitiano y $F(t)$ es un factor de fuerza dependiente del tiempo y se supuso que el sistema había comenzado en el estado $|0\rangle$ siendo la perturbación débil por lo que estos coeficientes varían lentamente.

C_{norte}^{(1)} = (i ℏ)^{- 1} \int_{- \infty}^{t} ⟨ norte | A | 0 ⟩ F (t^{'}) Exp (i ω_{norte 0} t^{'}) d t^{'}

$c_n^{(1)}=(i\hbar)^{-1}\int_{-\infty}^t\langle n|\mathbf{A}|0 \rangle F(t')\exp(i\omega_{n0}t')dt'$

Estoy bien con esta expresión. Donde me confundo es cuando tratamos de usar esta expresión para determinar la respuesta de algún operador $\mathbf{B}$ a la perturbación descrita por $\mathbf{A}$ . el escribe que

⟨ B ⟩ - ⟨ B ⟩_{0} = d ⟨ B ⟩ =

$\langle \mathbf{B} \rangle-\langle \mathbf{B} \rangle_0=\delta\langle \mathbf{B} \rangle=$

(i ℏ)^{- 1} \int_{- \infty}^{t} \sum_{norte \neq 0} [⟨ 0 | B | norte ⟩ ⟨ norte | A | 0 ⟩ Exp (- i ω_{norte 0} (t - t^{'})) - ⟨ 0 | A | norte ⟩ ⟨ norte | B | 0 ⟩ Exp (i ω_{norte 0} (t - t^{'}))] F (t^{'}) d t^{'}

$(i\hbar)^{-1}\int_{-\infty}^t\sum_{n\neq0}\bigr[ \langle 0|\mathbf{B}|n \rangle \langle n|\mathbf{A}|0 \rangle \exp(-i\omega_{n0}(t-t'))-\langle 0|\mathbf{A}|n \rangle \langle n|\mathbf{B}|0 \rangle \exp(i\omega_{n0}(t-t'))\bigr]F(t')dt'$

Parece que no puedo entender que tiene esta expresión. Mi pensamiento es expandir

⟨ Ψ^{'} | d B | Ψ^{'} ⟩

$\langle \Psi'|\delta\mathbf{B}|\Psi' \rangle$ dónde

| Ψ^{'} ⟩ = \sum_{norte = 0} C_{norte} (t) {mi}^{- i ω_{norte 0} t} | norte ⟩

$|\Psi' \rangle=\sum_{n=0} c_n(t)e^{-i\omega_{n0}t}|n\rangle$ Espero que esto lleve a términos como

⟨ 0 | B | Ψ^{'} ⟩

$\langle0|\mathbf{B}|\Psi'\rangle$ , pero obtengo términos adicionales que no sé cómo eliminar.

Respuestas (1)

Funciones de correlación de respuesta lineal

jjgoings · Answer 1

Intenta reescribir $\delta\langle \mathbf{B} \rangle= \langle \mathbf{B} \rangle-\langle \mathbf{B} \rangle_0$ más explícitamente.

\begin{aligned} ⟨ B ⟩ - ⟨ B ⟩_{0} & = Tr [PAG (t) \cdot B] - Tr [PAG (0) \cdot B] \\ = ⟨ 0 | PAG (t) B | 0 ⟩ - ⟨ 0 | PAG (0) B | 0 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \langle \mathbf{B} \rangle-\langle \mathbf{B} \rangle_0 &= \text{Tr}[\mathbf{P}(t)\cdot \mathbf{B}] - \text{Tr}[\mathbf{P}(0)\cdot \mathbf{B}] \\ &= \langle 0 | \mathbf{P}(t) \mathbf{B} | 0 \rangle - \langle 0 | \mathbf{P}(0) \mathbf{B} | 0 \rangle \\ \end{align}$

Recuérdese que a primer orden, la matriz de densidad $\mathbf{P}(t)$ puede ser escrito

PAG (t) = | 0 ⟩ ⟨ 0 | + | Ψ^{(1)} (t) ⟩ ⟨ 0 | + | 0 ⟩ ⟨ Ψ^{(1)} (t) | + \dots

$\mathbf{P}(t) = |0\rangle\langle0| + |\Psi^{(1)}(t)\rangle\langle0| + |0\rangle \langle \Psi^{(1)}(t)| + \cdots$

Puedes conectar tu expresión

| Ψ^{'} ⟩ = | Ψ^{(1)} (t) ⟩ = \sum_{norte = 0} C_{norte}^{(1)} (t) {mi}^{- i ω_{norte 0} t} | norte ⟩

$|\Psi' \rangle = |\Psi^{(1)}(t)\rangle =\sum_{n=0} c^{(1)}_n(t)e^{-i\omega_{n0}t}|n\rangle$

Esto debería darle (tratamiento $\mathbf{B}$ como operador hermitiano)

d ⟨ B ⟩ = ⟨ 0 | B \sum_{norte = 0} C_{norte}^{(1)} (t) {mi}^{- i ω_{norte 0} t} | norte ⟩ ⟨ 0 | 0 ⟩ + ⟨ 0 | 0 ⟩ \sum_{norte = 0} ⟨ norte | C_{norte}^{(1) *} (t) {mi}^{+ i ω_{norte 0} t} B | 0 ⟩

$\delta\langle \mathbf{B} \rangle = \langle 0 | \mathbf{B}\sum_{n=0} c^{(1)}_n(t)e^{-i\omega_{n0}t}|n\rangle\langle0|0\rangle + \langle 0 | 0 \rangle \sum_{n=0} \langle n | c^{(1)*}_n(t)e^{+i\omega_{n0}t}\mathbf{B} |0\rangle$

A partir de aquí es cuestión de enchufar tu primera expresión

C_{norte}^{(1)} = (i ℏ)^{- 1} \int_{- \infty}^{t} ⟨ norte | A | 0 ⟩ F (t^{'}) Exp (i ω_{norte 0} t^{'}) d t^{'}

$c_n^{(1)}=(i\hbar)^{-1}\int_{-\infty}^t\langle n|\mathbf{A}|0 \rangle F(t')\exp(i\omega_{n0}t')dt'$

Y limpiando hasta llegar

(i ℏ)^{- 1} \int_{- \infty}^{t} \sum_{norte \neq 0} [⟨ 0 | B | norte ⟩ ⟨ norte | A | 0 ⟩ Exp (- i ω_{norte 0} (t - t^{'})) - ⟨ 0 | A | norte ⟩ ⟨ norte | B | 0 ⟩ Exp (i ω_{norte 0} (t - t^{'}))] F (t^{'}) d t^{'}

$(i\hbar)^{-1}\int_{-\infty}^t\sum_{n\neq0}\bigr[ \langle 0|\mathbf{B}|n \rangle \langle n|\mathbf{A}|0 \rangle \exp(-i\omega_{n0}(t-t'))-\langle 0|\mathbf{A}|n \rangle \langle n|\mathbf{B}|0 \rangle \exp(i\omega_{n0}(t-t'))\bigr]F(t')dt'$

Funciones de correlación de respuesta lineal

Tiberio

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jjgoings

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