Razonamiento detrás de las ecuaciones en el análisis del circuito eléctrico

Voy a tratar de abordar los detalles matemáticos de cómo la ecuación corresponde al circuito, en lugar de hablar sobre el panorama general del comportamiento del circuito, con la esperanza de cerrar las brechas correctas de comprensión. Tenga en cuenta que puedo usar alguna terminología no estándar ya que no he estudiado formalmente el análisis de circuitos.

La ley de voltaje de Kirchhoff establece que la suma dirigida de los voltajes alrededor de un circuito es igual a cero, pero ¿cuál es la razón de los términos de la ecuación?$-V_0 + RI + Q/C = 0$estando estructurados como están? Específicamente, ¿por qué al voltaje se le da un signo negativo,...

Matemáticamente, para que la suma sea cero, algunos términos deben ser positivos y algunos términos deben ser negativos (o degeneradamente, todos deben ser cero). En realidad, no importa si pone signos menos en la ecuación o si hace que las variables o constantes tengan valores negativos; cualquiera funcionará, pero siempre terminará habiendo números negativos en alguna parte. Debe organizarlos sin embargo, hace que los números con los que termina sean convenientes para trabajar, lo que generalmente significa, por ejemplo, elegir tener$V_0$,$R$, y$I$ser números positivos.

Pero, por supuesto, si elegimos arbitrariamente los signos de los términos no necesariamente obtendremos la respuesta correcta; no todos los circuitos son tan simples como este, donde cualquier elección de signos te dará una respuesta correcta o físicamente imposible.

En este caso, parece que estamos usando la convención de signos de que si, a medida que avanzamos alrededor del bucle en la dirección de la flecha de corriente (que, nótese, en general no indica la dirección real de la corriente, pero indica la dirección de corriente que corresponde a valores positivos de la variable actual$I$) el voltaje aumenta (en el caso típico de ese componente), entonces el término es negativo y, en consecuencia, si el voltaje disminuye, el término es positivo.

Ahora, consideremos de dónde provienen esos términos específicos.

¿Por qué la resistencia se multiplica por la corriente?

El comportamiento ideal de una resistencia está descrito por la ley de Ohm ,$V = IR$. El$V$en esta ecuación es el voltaje a través de la resistencia, por lo que podemos colocarlo directamente en nuestra suma de voltaje.

¿Por qué la carga del capacitor se divide por la capacitancia?

De la misma manera que la ley de Ohm describe resistencias ideales,

describe condensadores ideales (sin tener el nombre de un científico histórico adjunto). La teoría dice que un capacitor tendrá una relación lineal entre la carga y el voltaje a través de él, y la constante de proporcionalidad se conoce como capacitancia ,$C$. Entonces, si queremos saber el voltaje, resolvemos para$V$y obten$Q/C$.

Físicamente, esto ocurre porque la acumulación de carga se opone a la acumulación adicional de carga, por medio de una concentración de campo eléctrico que, desde la perspectiva del análisis de circuitos, es solo otra diferencia de voltaje.

(Tenga en cuenta que si la condición inicial es$Q = 0$entonces no importa qué signo le demos al término del capacitor; cambiar el signo corresponde a invertir el capacitor en el circuito que, dado que es simétrico, no cambia nada).

Finalmente, una fuente de voltaje ideal es un componente que tiene un voltaje fijo, por lo que su término en la ecuación es solo$V_0$, el voltaje fijo. (Se niega debido a la elección de los signos frente a la dirección de la corriente que mencioné anteriormente). Eso nos da los tres términos de nuestra suma de voltajes.

¿Por qué es la velocidad a la que se acumula la carga en el condensador,$\dot{Q}$, una función de la carga del condensador,$f(Q)$?

Hay un hecho/ecuación que no mencionaron explícitamente: la corriente es el flujo de carga. Como cabría esperar de un flujo de sustancia, la corriente$I$fluyendo por el tiempo$t$mueve una cantidad de carga$Q = It$; o en general para una corriente variable en el tiempo,

Cuando tiene una corriente que fluye a través de un capacitor, la carga en el capacitor es exactamente esta integral, porque, físicamente, las cargas individuales no pueden pasar a través del capacitor, sino que provocan un exceso y un déficit de cargas en las dos placas del capacitor (que es lo que ocurre). La variable$Q$para un condensador se refiere).

Ahora, volviendo a la ecuación: si$Q = \int I(t) dt$Después también$\dot{Q} = \frac{dQ}{dt} = I(t),$y si sustituimos eso en lugar de$I$en nuestra ecuación de circuito$-V_0 + RI + Q/C = 0$obtenemos

Resuelve esto para$\dot{Q}$y obtiene el último paso escrito en su cotización,

Luego resuelva esta ecuación diferencial para obtener una fórmula para$Q(t)$y has completado el problema.

1) La tensión de alimentación V0 debe coincidir con la tensión sobre la resistencia y el condensador para completar el bucle. Dado que la ley de Ohm dice R = U / I, entonces se puede reorganizar a U = RI, que es el voltaje sobre la resistencia. La carga del capacitor es Q=CU, por lo tanto, reorganizada, voltaje U=Q/C. Por lo tanto, el voltaje de suministro aplicado menos el voltaje del resistor menos el voltaje del capacitor debe ser cero en todo momento. Reorganiza los términos para obtener los mismos signos. A veces, cuando haces un libro, tienes que seleccionar una notación y apegarte a ella, incluso si parece tener poco sentido.

2) A medida que se carga el capacitor, el voltaje sobre él aumenta, por lo que habrá menos voltaje sobre la resistencia y menos corriente a través de la resistencia. Entonces, cuanto más voltaje hay sobre el capacitor (es decir, carga en él), se carga con menos corriente, por lo que el voltaje cambia más lentamente (se carga más lento).

Ya tienes una excelente respuesta, pero quizás un poco más de información sería de interés. El filtro de paso bajo RC tiene un elemento de almacenamiento de energía (el capacitor) y una vía de disipación (la resistencia). Antes de que se cierre el interruptor, la entrada es de cero voltios y se supone que la tapa no tiene carga almacenada, por lo que su voltaje es cero. En t = 0, el interruptor se cierra y el voltaje de entrada salta a algún$V_0$voltios Por lo que este sistema se rige por una ecuación diferencial ordinaria de primer orden con condición inicial.

Todos los sistemas con un solo elemento de almacenamiento de energía, una sola vía disipativa y una condición inicial se rigen por la misma ecuación diferencial. Así que esto se aplica a muchos sistemas, por ejemplo, una taza de café caliente enfriándose (ley de enfriamiento de Newton); decaimiento radiactivo de primer orden; decaimiento de la fluorescencia de un átomo excitado y así sucesivamente. Está por todas partes.

Aquí está mi figura que muestra la ecuación diferencial y su solución, suponiendo una entrada de función escalón unitario en t = 0 s:

También se muestra en la figura mi modelo de simulación numérica (usando Extend), con RC = 2 s y$V_0$= 1 V. Todo funciona exactamente como dice @Justme en su respuesta.

1. Ayuda a etiquetar el voltaje de la resistencia. Cuando la corriente fluye, en este caso de izquierda a derecha, el lado izquierdo de la resistencia es el voltaje + y el lado derecho el -. Es lo opuesto a la fuente de voltaje.

2. Considere el voltaje de estado estable en el capacitor. ¿Qué será? ¿Habrá corriente fluyendo en ese caso? ¿Hay un punto en el que la carga deja de acumularse (piense en esto tanto en el sentido aproximado como en el exacto, ya que conducen a dos respuestas diferentes)?