¿El tiempo se mueve más lento en el ecuador?

De hecho, la diferencia sería medible con relojes atómicos de última generación, pero no está ahí: se cancela. Las razones en realidad se reducen a los primeros experimentos mentales que realizó Einstein cuando se dio cuenta de la importancia del principio de equivalencia para la relatividad general: fue en Praga alrededor de 1911-1912. Véase, por ejemplo, el final de

http://motls.blogspot.com/2012/09/albert-einstein-1911-12-1922-23.html?m=1

para recordar la derivación original de Einstein del desplazamiento hacia el rojo gravitacional que implica el carrusel.

Los argumentos para la configuración de John se pueden ver, por ejemplo, en este artículo:

http://arxiv.org/abs/gr-qc/0501034

En cierto sentido, el marco de referencia "geocéntrico" que gira junto con la Tierra cada 24 horas es más inercial que el marco en el que gira la Tierra.

Considere un litro de agua en algún lugar, cerca de los polos o el ecuador, al nivel del mar. Mantenga su velocidad relativamente pequeña con respecto a la superficie de la Tierra (en rotación), al igual que lo que es fácil de conseguir en la práctica.

Ahora, comprobemos la conservación de la energía en el marco giratorio de la Tierra. La energía se conserva porque este fondo, incluso en las coordenadas giratorias "aparentemente no inerciales", es asintóticamente estático, invariante bajo traslaciones en el tiempo.

La energía se conserva, pero la energía potencial de un litro estático (en este marco) de agua se puede calcular como

$$m_c^2 \sqrt{|g_{00}|}.$$ Porque el $00$-El componente del tensor métrico es esencialmente el potencial gravitatorio (que normalmente se llama "gravitacional más centrífugo" en el marco "ingenuo inercial" donde la Tierra gira) y es constante al nivel del mar en todo el mundo, $g_{00}$que codifica la desaceleración gravitacional en función del lugar en el campo gravitatorio debe ser constante en todas partes al nivel del mar, también.

En el marco "inercial normal" en el que la Tierra está girando, la dilatación del tiempo relativista especial se compensa por el hecho de que la Tierra no es esférica y, por lo tanto, el potencial gravitacional es menos negativo, es decir, "menos limitado" al nivel del mar cerca del ecuador.

Algunos cálculos relacionados con la forma elipsoide de la Tierra pueden producir una cancelación inexacta. (Ese error puede atribuirse a suposiciones no del todo correctas de que la densidad de masa de la Tierra es uniforme, etc., suposiciones que generalmente se hacen para hacer que el problema sea manejable). Pero un argumento más conceptual muestra que la forma no esférica de la Tierra es un consecuencia de la fuerza centrífuga. Cuantitativamente, esta fuerza se deriva del potencial centrífugo y, por lo tanto, este potencial centrífugo debe agregarse naturalmente al potencial gravitatorio normal para calcular la dilatación del tiempo total de la relativista especial más la gravitacional. Eso deja en claro por qué este cálculo en particular es más fácil de hacer en el marco que gira junto con la superficie de la Tierra y el efecto se cancela exactamente.

Permítanme mencionar que la métrica del espacio-tiempo en el marco que gira junto con la Tierra no es la métrica plana de Minkowski. Si permitimos que el marco gire con la Tierra, nos deshacemos "al máximo" de los efectos relacionados con la fuerza centrífuga y las correcciones correspondientes al corrimiento hacia el rojo. Sin embargo, en este marco que gira junto con la Tierra, todavía existe la fuerza de Coriolis. En el lenguaje de la métrica relativista general, la aceleración de Coriolis agrega algunos elementos fuera de la diagonal no triviales al tensor métrico. Estas desviaciones de la planitud son responsables del efecto geodésico y del arrastre del marco.

Todo argumento que muestre la cancelación exacta del efecto relativista especial debe usar el principio de equivalencia en un punto u otro; se garantiza que cualquier argumento que evite este principio, o cualquier otro de la relatividad general, sea incorrecto porque, por separado (sin la gravedad y sus efectos), el efecto relativista especial ciertamente está ahí.

Las respuestas actuales de Luboš y David hacen un buen trabajo al explicar por qué es esencial incluir la relatividad general en la imagen. De hecho, esto es un problema aún mayor porque las irregularidades en la forma de la Tierra sí importan.

Es bastante fácil entender por qué sucede esto: se sabe desde 2010 que los relojes atómicos son sensibles a diferencias de altura tan pequeñas como un pie ( comunicado de prensa del NIST , artículo , doi ). Con este tipo de sensibilidad, ¿cómo se pueden sincronizar relojes atómicos en altitudes separadas por más de 1 km? Debido a esto, el Tiempo Atómico Internacional incluye correcciones para volver a escalar la frecuencia de cada reloj contribuyente al nivel medio del mar, y lo ha hecho desde los años setenta .

Esto empeora por el hecho de que la 'altitud relativa' ni siquiera se puede medir localmente y, en cierto sentido, es una propiedad global del campo gravitatorio de la Tierra. Esto se debe a que lo que realmente importa es la diferencia de potencial gravitacional entre los dos relojes, que puede verse afectada por cambios en la distribución de masa entre los dos relojes pero lejos de cada uno de ellos. Lo que realmente importa, entonces, es la forma del geoide y la altura relativa de cada laboratorio con respecto a él.

Esto es malo por dos razones. La primera es que el geoide puede cambiar de manera mensurable ( ejemplo ), impulsado por cosas como terremotos, placas tectónicas e incluso mareas y ciclos del agua. La segunda es que estos cambios no son localmente detectables, porque los cambios en el geoide afectan el potencial gravitatorio local (en relación con un punto en el infinito) pero no afectan el campo gravitacional local, que es esencialmente uniforme localmente.

Sin embargo, una cosa que puede hacer es cambiar este problema de sincronización y ver sus relojes atómicos como una forma de medir el geoide, y esto de hecho se ha propuesto ( pieza de Phys.org , preprint , doi ).

Entonces, con todo esto en mente, está claro que tenemos la capacidad de medir el efecto relativista especial que mencionaste, incluso si no se canceló exactamente de la manera señalada por Luboš. Sin embargo, hay muchos otros efectos que deben tenerse en cuenta, y ahí es donde se encuentra la ciencia actual e importante.

¿Hay alguna falla en mi razonamiento o simplemente no he estado leyendo las revistas correctas?

Sí. El defecto es que estás ignorando la relatividad general. Los polos están más cerca del centro de la Tierra y, por lo tanto, están más profundos en el pozo de gravedad de la Tierra que el ecuador. Los efectos combinados del tiempo gravitacional y relativista especial significan que los relojes al nivel del mar funcionan al mismo ritmo. Más precisamente, los relojes en la superficie del geoide marcan el mismo ritmo.

Si observa el geoide de la Tierra , puede ver que no hay una "banda" particular de variación gravitatoria a lo largo del ecuador. Entonces, si bien el tiempo se movería más lento o más rápido en diferentes lugares del mundo, no está correlacionado con el ecuador.

Aquí está, creo, el último modelo, en 2D :

Y también hay una muy buena animación en 3D aquí .

En cuanto a la capacidad de medir estas diferencias con relojes atómicos; si que se notan. Por ejemplo, de un experimento del NIST que demuestra que el tiempo se mueve más rápido en la cabeza que en los pies :

En una serie de experimentos, los científicos levantaron uno de los relojes levantando la mesa láser a una altura de un tercio de metro (alrededor de un pie) por encima del segundo reloj. Efectivamente, el reloj más alto funcionó a un ritmo ligeramente más rápido que el reloj más bajo, exactamente como se predijo.