¿Cómo calcular el delta-v requerido para una transferencia Hohmann de planeta a planeta?

Aquí hay una solución aproximada pero bastante precisa. Esto supone que la órbita alrededor del cuerpo de salida está alineada con la asíntota saliente de la órbita de Hohmann, que es la práctica habitual cuando un vehículo de lanzamiento pone una nave espacial en una órbita de estacionamiento antes de su maniobra de escape. Esto también supone que las órbitas de los cuerpos alrededor del Sol son circulares y coplanares. Esto está bastante cerca para los planetas (como se define actualmente) alrededor de nuestro Sol.

También supondremos maniobras instantáneas, que es una buena aproximación para cohetes químicos, y lo que implica el uso de la solución de Hohmann. La transferencia sería bastante diferente para los sistemas de bajo empuje.

los$\Delta V$puede determinarse mediante la aplicación repetida de esta ecuación que simplemente dice que la energía total es la suma de la energía cinética y la energía potencial:

$\mathcal{E}=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu}{r}$

dónde$\mathcal{E}$es la energía total por unidad de masa del objeto o la "energía específica",$v$es la velocidad del objeto en la posición actual,$\mu$es el GM del cuerpo central, es decir, la constante gravitacional de Newton multiplicada por su masa, y$r$es la distancia actual desde el centro del cuerpo central.

La clave es que la energía total del objeto es una constante de movimiento sobre la órbita.

También usaremos el hecho de que las órbitas son elipses, y esta ecuación, que determina esa constante de movimiento a partir de los ábsides de la órbita, es decir, los radios de los puntos más cercanos y más lejanos de la órbita,$r_1$y$r_2$:

$\mathcal{E}=-{\mu\over r_1+r_2}$

Para este problema definimos:

$\mu_S$= GM del Sol.
$\mu_1$= GM del cuerpo de salida.
$\mu_2$= GM del cuerpo de llegada.
$r_1$= radio de la órbita del cuerpo de salida alrededor del Sol, que se supone que es circular.
$r_2$= radio de la órbita del cuerpo de llegada alrededor del Sol, que se supone que es circular.
$a_1$= radio de la órbita circular de la nave espacial alrededor del cuerpo de partida.
$a_2$= radio de la órbita circular de la nave espacial alrededor del cuerpo de llegada.

La órbita de transferencia de Hohmann tiene ábsides$r_1$y$r_2$. Entonces su energía específica es:

$\mathcal{E}_H=-{\mu_S\over r_1+r_2}$

Luego calculamos la velocidad de esa órbita en$r_1$:

$\mathcal{E}_H=-{\mu_S\over r_1+r_2}=\frac{v_{H1}^2}{2}-\frac{\mu_S}{r_1}$

lo que da:

$v_{H1}=\sqrt{\frac{2\mu_S r_2}{r_1(r_1+r_2)}}$

Para la órbita circular del cuerpo de salida alrededor del Sol, tenemos para su velocidad alrededor del Sol:

$-{\mu_S\over 2r_1}={v_1^2\over 2}-{\mu_S\over r_1}$

o:

$v_1=\sqrt{\mu_S\over r_1}$

La geometría dicta que la velocidad de la órbita de transferencia de Hohmann en el periapsis está en la misma dirección que la velocidad del cuerpo de salida, y están en el mismo radio del Sol. Entonces, el cambio de velocidad desde la órbita circular de salida hasta la órbita de transferencia de Hohmann es solo la diferencia (esto se elevará al cuadrado más adelante, por lo que el signo no importa):

$v_{T1}=v_{H1}-v_1=\sqrt{\frac{2\mu_S r_2}{r_1(r_1+r_2)}}-\sqrt{\mu_S\over r_1}$

Ese es el cambio de velocidad para pasar de la órbita del cuerpo de salida a la órbita de transferencia de Hohmann, pero sin que el cuerpo de salida esté allí. Para hacer la maniobra desde una órbita circular alrededor del cuerpo, usaremos la aproximación cónica parcheada de que necesitamos una velocidad de escape del cuerpo igual a esa velocidad de transferencia. Aquí es donde el plano de la órbita alrededor del cuerpo es importante, ya que debe alinearse con la dirección de la velocidad de transferencia para minimizar la$\Delta V$. En este caso, ese es el plano compartido por las órbitas de los dos cuerpos.

La energía específica de un objeto escapado lo suficientemente lejos del cuerpo (donde la suficiencia está en el corazón de la aproximación cónica parcheada), es la ecuación de energía con el segundo término yendo a cero a medida que la distancia tiende al infinito:

$\mathcal{E_{escape}}=\frac{v_{\infty}^2}{2}$

Ahora, para obtener el cambio de velocidad para ese escape e inyección a la transferencia de Hohmann, tomamos la diferencia entre la velocidad de esa energía de escape en el radio orbital de la nave espacial con respecto al cuerpo de partida y la velocidad orbital de la nave espacial:

$\frac{v_{T1}^2}{2}=\frac{v_{escape}^2}{2}-\frac{\mu_1}{a_1}$

$v_{escape}=\sqrt{v_{T1}^2+\frac{2\mu_1}{a_1}}$

$v_{orbit}=\sqrt{\mu_1\over a_1}$

$v_{inject}=v_{escape}-v_{orbit}=\sqrt{v_{T1}^2+\frac{2\mu_1}{a_1}}-\sqrt{\mu_1\over a_1}$

$v_{inject}=\sqrt{\left(\sqrt{\frac{2\mu_S r_2}{r_1(r_1+r_2)}}-\sqrt{\mu_S\over r_1}\right)^2+\frac{2\mu_1}{a_1}}-\sqrt{\mu_1\over a_1}$

ese es el real$\Delta V$requerido por la nave espacial para pasar directamente de la órbita circular alrededor del cuerpo de salida a la órbita de transferencia de Hohmann con una sola maniobra instantánea.

Podemos repetir todo eso para la inserción en la órbita de llegada para obtener:

$v_{insert}=\sqrt{\left(\sqrt{\frac{2\mu_S r_1}{r_2(r_1+r_2)}}-\sqrt{\mu_S\over r_2}\right)^2+\frac{2\mu_2}{a_2}}-\sqrt{\mu_2\over a_2}$

El total$\Delta V$es entonces la suma de las dos maniobras:

$\Delta V=\sqrt{\left(\sqrt{\frac{2\mu_S r_2}{r_1(r_1+r_2)}}-\sqrt{\mu_S\over r_1}\right)^2+\frac{2\mu_1}{a_1}}-\sqrt{\mu_1\over a_1}+\sqrt{\left(\sqrt{\frac{2\mu_S r_1}{r_2(r_1+r_2)}}-\sqrt{\mu_S\over r_2}\right)^2+\frac{2\mu_2}{a_2}}-\sqrt{\mu_2\over a_2}$

o simplificado un poco:

$\Delta V=\sqrt{{\mu_S\over r_1}\left(\sqrt{\frac{2r_2}{r_1+r_2}}-1\right)^2+\frac{2\mu_1}{a_1}}-\sqrt{\mu_1\over a_1}+\sqrt{{\mu_S\over r_2}\left(\sqrt{\frac{2r_1}{r_1+r_2}}-1\right)^2+\frac{2\mu_2}{a_2}}-\sqrt{\mu_2\over a_2}$

No existe una solución de forma cerrada para el problema de n cuerpos, por lo que probablemente comenzará utilizando un enfoque de cónica parcheada. Esto tratará la trayectoria como una simple transferencia de Hohmann entre dos esferas de influencia (suponiendo que sus cuerpos estén en órbitas coplanares). El delta-v para una transferencia de Hohmann es bien conocido. A esto, agregará (restará) el delta-v para las trayectorias "parcheadas" dentro de las esferas de influencia de los cuerpos que se pueden resolver para dos (n = 2) cuerpos.

En este punto, probablemente necesite una respuesta refinada, especialmente si va a estar a bordo de esta misión. Esto significa que necesitará hacer alguna integración numérica con su aproximación cónica parcheada como punto de partida.

¡Buena suerte y asegúrate de llevar suficiente comida!

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