¿Es común que una tesis de licenciatura en matemáticas puras demuestre algo nuevo?

¿Qué hacen los estudiantes de licenciatura en matemáticas para su tesis, si la han hecho, además de matemáticas expositivas o aplicadas?

Estaba pensando que el tipo de investigación que hacen es algo aplicado, digamos usando matemáticas en ciencias sociales o un problema en una de las ciencias naturales menos rigurosas, o discutiendo ese problema (eso es lo expositivo, ¿no?).

A mí me parece que algo no expositivo o no aplicado es una aportación original a las matemáticas, algo que hacen los doctorandos.

Asistí a algunas presentaciones de tesis de licenciatura en matemáticas puras. Me sorprendió bastante: ¿Probaron algo nuevo? Nunca se molestó en preguntar por miedo a parecer estúpido. ¿Sería fuera de lo común esperar que un estudiante universitario demuestre algo nuevo? Si no probaron nada nuevo, ¿de qué diablos están hablando?

Parece que si no es nuevo, están dando una conferencia. Si es nuevo, parece un logro de nivel de doctorado.

Quiero decir, ¿los estudiantes de matemáticas prueban con frecuencia cosas nuevas?

"Algo nuevo" es bastante amplio. Yo mismo probé "algo nuevo" en mi tesis de licenciatura, en el sentido de que nadie respondió rigurosamente a esa pregunta en particular antes. ¿Fue profundo? Probablemente no. ¿Podría haberlo publicado? No me parece. Aún así, era nuevo .
Dependiendo del país y la calidad de la enseñanza, sí es posible. Si tiene un profesor que le da un problema real sabiendo que le han enseñado los módulos/temas correctos para investigarlo, sí. Si tiene poca enseñanza y luego se le pide que elija un tema (como sucede en algunos lugares), entonces la probabilidad es significativamente menor.
@DetlevCM Supongo que puede haber 1 por cada docena o cientos. De hecho, me preguntaba sobre el lote promedio de estudiantes universitarios de matemáticas cuya tesis es en matemáticas puras. Supongo que, en primer lugar, no muchos estudiantes de matemáticas harán matemáticas puras en su tesis. Entonces, ¿qué pasa con los que lo hacen? ¿De verdad intentan probar algo? ¿Qué sucede si no pueden probar esa conjetura en particular en un mes después de presentar la propuesta después de un mes? Quedan 2 meses en el semestre. ¿Así que lo que ocurre?
@paulgarrett Gracias. Técnicamente, mi pregunta es sobre probar cosas nuevas, no hacer "investigación" (en el sentido profesional). Estaba pensando que hacer esas cosas es muy difícil sin una maestría o un doctorado. Supongo que no es imposible, así que lo que me pregunto es: ¿Qué diablos están discutiendo estos estudiantes de matemáticas en sus tesis de matemáticas puras ? De todos modos, es hora de leer las respuestas.
@JackBauer Esto vuelve a la buena supervisión: un buen supervisor debe notar que un problema determinado es demasiado difícil y también debe señalar a un estudiante en la dirección correcta si nota que el estudiante es demasiado ambicioso. Por otro lado, si puede mostrar un trabajo completo que detalla o investiga un problema, esto puede ser suficiente para un título universitario, incluso sin una contribución novedosa. (Solo como nota personal, sé de alguien que escribió una simulación de Enigma para su licenciatura, algo que hice durante todo el año como tarea en un módulo...)
@DetlevCM Ah, eso lo explica. Gracias. Eso suena bien. ¿Enigma como en la Segunda Guerra Mundial?
@JackBauer Sí, ese Enigma: solo cubrí los rotores y omití la centralita, pero la centralita es la parte trivial. Diablos, sospecho que podría escribir una implementación con bastante facilidad hoy en día, habiendo mejorado en la programación desde entonces. (Nota al margen, no está descifrando Enigma, su codificación y decodificación es realmente trivial).
@JackBauer Algo así. Algunos investigadores reclamaron una propiedad de las cosas con las que trabajaron; era crucial para que su método funcionara, pero no proporcionaron una prueba. (No sé si podrían haberlo hecho). Llené ese vacío. Mi asesor lo encontró, y tuve la suerte de que era una tarea de alcance razonable que requirió principalmente material de pregrado más algunos retoques. (Creo que él (y yo) esperábamos encontrar un caso en el que estuvieran equivocados, pero no lo estaban).

Respuestas (5)

Voy a estar en desacuerdo con Oswald. En mi experiencia, los estudiantes universitarios no suelen probar cosas nuevas en matemáticas puras. Ni siquiera diría que las tesis de maestría a menudo contienen nuevos resultados. Hay algunas razones principales para esto.

En primer lugar, las matemáticas puras operan a un nivel que no es muy accesible para la mayoría de los estudiantes universitarios, incluso para aquellos que realizan investigación. Los estudiantes universitarios que realizan investigaciones a menudo están fuera de su alcance y se aferran a su vida. Esto se puede atribuir principalmente a no tener suficiente tiempo para ponerse al día con lo que se considera matemática moderna. La mayoría de los cursos de matemáticas a nivel de pregrado son sobre matemáticas de hace 50 a 100 años (si no más).

En segundo lugar, los estudiantes universitarios a menudo no tienen la experiencia matemática para saber cuál es el plan de ataque correcto cuando se enfrentan a un problema nuevo y abstracto y es posible que no sepan cómo verificar su trabajo a fondo para asegurarse de que no haya grandes descuidos o errores garrafales. Muchas matemáticas implican el pensamiento lateral y se necesita mucho tiempo para construir esas conexiones. La parte más difícil de un doctorado en matemáticas puras (en mi opinión) es aprender a atacar un problema que nadie ha considerado antes. Las técnicas estándar que otros usaron pueden no ser útiles para usted por una razón u otra. Un estudiante universitario no tendrá la creatividad para navegar este tipo de problema porque el tipo de creatividad que se necesita viene con mucha experiencia. Incluso cuando un estudiante universitario piensa que ha probado algo, los matices de su argumento probablemente no serán evidentes para ellos. (Esto es especialmente cierto cuando se trata de argumentos analíticos funcionales/teóricos de la medida: el diablo está en los detalles). Por lo tanto, es posible que una prueba propuesta ni siquiera esté cerca de ser correcta.

Por último, no muchos estudiantes universitarios en matemáticas puras investigan porque la brecha que tienen que superar entre el trabajo del curso y las matemáticas modernas es bastante considerable. Aquellos que hacen contribuciones en matemáticas puras son aquellos que son muy, muy talentosos y tienen antecedentes muy completos (antecedentes que rivalizan con estudiantes de maestría/doctorado).

No se espera que los estudiantes universitarios en matemáticas puras hagan contribuciones. De eso no se trata la investigación para ellos. Introducir a un estudiante universitario a la investigación tiene un par de propósitos diferentes: los introduce a temas más avanzados y les da una idea de cómo es la investigación para que puedan tomar una decisión informada sobre si la escuela de posgrado es adecuada para ellos o no. Como tal, las tesis son más como estudios de un tema especializado en matemáticas. Hay mucho aprendizaje independiente involucrado y puede haber algunos ejemplos únicos, ideas y conexiones contenidas en él. Es posible que no presenten un trabajo "original", pero las sesiones de carteles están ahí para presentar lo que han aprendido, independientemente de si es original o no. Así que sí, es algo así como una conferencia. ellos son estudiantes universitariosy lejos de ser expertos en su campo.

Tenga en cuenta que no estoy diciendo que ningún estudiante universitario produzca nuevos resultados en matemáticas puras (hay algunos estudiantes de secundaria que son mejores que la mayoría de los doctores), pero no es algo común y no se espera ni se considera la norma.

Bingo. Exactamente. Además, creo que es malo promover la mitología de que "los estudiantes universitarios pueden hacer una investigación significativa en matemáticas" aunque solo sea porque establece expectativas poco realistas, de modo que "todos fallan". Es decir, no ayuda a nadie "asegurarles" que "pueden investigar siendo estudiantes", porque lo más probable es que no lo hagan, y eso no es un fracaso . Etcétera. De hecho, muchos estudiantes de posgrado malinterpretan el grado de "originalidad/creatividad" que realmente jugará un papel en su tesis, ya que la mayor parte del trabajo es la asimilación de técnicas conocidas...
Creo que una gran parte de la diferencia aquí es subcampo. Es muy raro que un estudiante universitario haga una contribución sustancial en cualquier lugar, o cualquier contribución a un subcampo que requiera una gran cantidad de antecedentes. Por otro lado, no es tan inusual que los estudiantes universitarios puedan probar nuevos resultados en muchas áreas de la combinatoria, incluso si es poco probable que estos resultados sean interesantes para alguien, excepto para otros estudiantes universitarios que trabajan en proyectos de seguimiento.
Estoy totalmente de acuerdo con @AlexanderWoo (y, tal vez de manera contraria a la intuición, con la respuesta de Cameron): creo que los estudiantes universitarios definitivamente pueden hacer una investigación de buena fe, en combinatoria, si no en ningún otro lugar. Pero, es probable que la mayoría de los estudiantes universitarios no realicen una investigación original.
@AlexanderWoo Definitivamente estaba pensando principalmente en análisis, álgebra, geometría y teoría de conjuntos al considerar las matemáticas puras, pero la combinatoria definitivamente se presta a la contribución de los estudiantes universitarios. Los otros son casi imposibles de ingresar como estudiante universitario a menos que ya tenga un nivel de doctorado, pero esa es una porción muy pequeña de estudiantes.
@Alexander Woo: creo que es importante distinguir entre los estudiantes universitarios que trabajan solos (que, de hecho, es poco probable que produzcan mucho trabajo publicable) y los estudiantes universitarios que trabajan en colaboración con la facultad. Por ejemplo, el conocido Duluth REU dirigido por Gallian afirma que tiene más de 200 artículos publicados en revistas profesionales. Parece que estos artículos no tienen más probabilidades de ser "poco interesantes para nadie" que todos los demás artículos de esas revistas :) Ver d.umn.edu/~jgallian/progbib.html
Seamos realistas: la mayoría de los trabajos de matemáticas, incluido el mío, no son interesantes para nadie. Están escritos al menos tanto por los beneficios secundarios de la actividad de investigación para la educación como por la importancia de lo que contienen. Mantengo mi declaración, incluso para la mayoría (¡no todos!) de los artículos producidos en Duluth. (Por cierto, hay mucha investigación de pregrado disponible en geometría métrica; supongo que podrías considerar esa combinatoria en lugar de geometría).
Estoy de acuerdo en que la mayoría de los trabajos de matemáticas no son de importancia para cambiar el mundo. Pero creo que es demasiado mantener la investigación de pregrado en un nivel hipotético alto que la mayoría de los artículos de investigadores profesionales no cumplen. Si un estudiante universitario es autor o coautor de un artículo en una revista en la que también publica un colega, creo que debemos contarlo como una investigación genuina de un estudiante universitario. El trabajo de tipo "proyecto principal" inédito y aleatorio es algo completamente diferente, por supuesto.
Gracias Cameron. Por favor, amplíe "Como tales, las tesis son más como estudios de un tema especializado en matemáticas". ¿A qué te refieres con encuestas? Qué diablos están discutiendo es precisamente lo que me pregunto.
@AlexanderWoo ¿Combinatoria? Elabora más por favor. No puedo imaginar ningún área de las matemáticas puras en la que la investigación de pregrado contribuya regularmente .
@JackBauer Por encuestas quiero decir que son refritos expositivos de algún tema de matemáticas. A menudo no es matemática fácil de ninguna manera, pero puede ser un tema que no tiene muchas introducciones elementales. La encuesta puede actuar como una introducción básica para las personas que buscan profundizar en el tema. A menudo, los novatos en un tema brindan una visión muy diferente y única y pueden deconstruir ideas de manera simple (porque tienen que hacerlo para comprenderlo), por lo que proporciona una exposición suave.
@JackBauer: vea el enlace que proporcionó OswaldVeblen. Todos esos artículos fueron escritos por estudiantes universitarios. Personalmente, fui coautor de un artículo de REU como estudiante de pregrado, y mi tesis de pregrado también tenía resultados originales en teoría de grafos, pero me dediqué a la programación de computadoras durante un par de años y no publiqué antes de que esos resultados terminaran (de manera completamente independiente) como parte de alguien. tesis doctoral de otra persona. Si quieres detalles, envíame un correo electrónico; Estoy usando mi nombre real y Google me puede encontrar fácilmente.
@CameronWilliams ¡Eso no solo suena posible sino también genial! ¿Podría ser algo así como introducir temas en, digamos, X avanzado a X elemental? ¿Como presentar, tal vez de forma heurística o tal vez rigurosa, algún tema que a menudo se omite en X elemental (¿tal vez cálculo?) pero discutido en X avanzado (¿análisis real tal vez?)?
@JackBauer Más o menos así, pero no del todo. Más bien: "Estoy estudiando la teoría de la representación de grupos localmente compactos, pero soy un estudiante universitario y esto es bastante difícil, así que necesito reducirlo en partes fáciles de disolver. Esta es una forma única que encontré para explicar/comprender algo que no mucha gente ha discutido". Como analogía, hice un proyecto sobre las medidas de Haar y al mostrar que existen, hay un objeto que parece bastante... sin motivación... llamado el número de cobertura de Haar. Nadie describe nunca lo que es. Lo pensé y lo pensé por un rato y me di cuenta de que era...
@JackBauer básicamente solo una suma de Riemann en algún sentido. En todas las pruebas se utilizó como herramienta sin ninguna justificación o intuición. Ese es el tipo de cosas de las que estoy hablando: dar una encuesta y luego realmente deconstruir de manera que tenga sentido para un novato.
Cameron Williams, dado que "las matemáticas puras operan a un nivel que no es muy accesible para la mayoría de los estudiantes universitarios, incluso para aquellos que realizan investigaciones", ¿puede ayudar aquí? ¿ Cuánto conocimiento se espera de un solicitante de doctorado en comparación con un posdoctorado o un asistente de investigación? o aquí Enviar correos electrónicos a los profesores: ¿Pautas para elegir trabajos, por favor?

Las respuestas hasta ahora contienen un sí y un no, así que permítanme agregar un sí y un no.

Los estudiantes universitarios pueden, ya menudo lo hacen, probar cosas nuevas, pero casi nunca nada de importancia. Depende del asesor encontrar una pregunta interesante que sea lo suficientemente simple como para servir como tema de una tesis, pero que aún no se haya tratado en la literatura. A diferencia de un doctorado, una tesis de licenciatura o maestría está muy limitada en el tiempo, por lo que, como asesor, solo debe dar un tema si está bastante seguro de que un investigador sin experiencia puede hacer algo en poco tiempo. Por otro lado, solo repetir la literatura es aburrido para el estudiante. Una forma de encontrar buenos temas es observar lo que a menudo se conoce como folclore: todos los libros de texto contienen el teorema de que X implica Y, y todos los expertos saben que cuasi-X ya es suficiente, pero nadie se molestó en escribirlo. Lo más probable es que esto no valga la pena una publicación, pero demostrar un teorema que aún no está contenido en la literatura es motivador. Otro método simple es mirar todas las cosas que excluyó de sus propios documentos. Si resolvió un ejemplo, pero no lo incluyó en una publicación, puede dejar que el alumno lo generalice.

Lo que no debes hacer es preguntarle a un alumno un problema que realmente te interese. Primero el alumno se frustrará, porque el problema es demasiado difícil para él, luego tú te frustrarás, porque pasarás mucho más tiempo explicándole las cosas. entonces necesitarías encontrar los resultados por ti mismo, y finalmente todos están frustrados, porque encuentras una respuesta y tienes que explicársela al estudiante.

"Cada libro de texto contiene el teorema de que X implica Y, y todo experto sabe que cuasi-X ya es suficiente, pero nadie se molestó en escribirlo". ¿Hay muchas cosas así tiradas por ahí? ¿Por ejemplo?
Si alguien prueba un resultado, que solo sirve como herramienta, las condiciones suelen ser demasiado restrictivas. Por ejemplo, el espacio de Hilbert se usa cuando el espacio de Banach reflexivo es suficiente, o el espacio compacto a menudo se puede reemplazar por el espacio compacto numerable. En la teoría de números, puede mirar documentos más antiguos que usan sumas exponenciales y ver qué mejoras para este último producen en la aplicación.
Jan-Christoph Schlage-Puchta, "las condiciones son a menudo demasiado restrictivas", ¿quieres decir que no sería de interés para muchos matemáticos de todos modos?
Cuando hablo de temas para una tesis de Licenciatura o Maestría, pienso en problemas abiertos en el sentido de que no están publicados, pero resueltos en el sentido de que cualquier experto en el área podría escribir una prueba de inmediato. Así que no creo que estas preguntas sean interesantes para otras personas.
@JackBauer La mayor parte del trabajo consiste en descubrir qué son estas cosas. Si tuviera un ejemplo que conociera lo suficientemente bien como para citarlo aquí, probablemente alguien lo hubiera probado.

Sí, los estudiantes universitarios frecuentemente prueban cosas nuevas, en el sentido de que cada año hay nuevos resultados publicables probados por estudiantes universitarios. Entonces, aunque un número relativamente pequeño de estudiantes universitarios de matemáticas participan en una verdadera "investigación", ciertamente hay estudiantes que son capaces de hacer descubrimientos no triviales como estudiantes universitarios, y más de lo que uno podría pensar inicialmente. He estado en escuelas de investigación prestigiosas y en universidades regionales anti-prestigiosas en los EE. UU. En todas las escuelas en las que he estado, había estudiantes universitarios en matemáticas con la aptitud para la investigación publicable. El talento necesario puede no ser "común", pero ciertamente no es "raro". Los obstáculos son principalmente culturales, no intelectuales.

El tema de la investigación de pregrado también ha sido objeto de una pregunta en MathOverflow , lo que lo convierte en una buena lectura.

Para un ejemplo de experiencia personal: Recientemente publiqué un artículo revisado por pares en lo que considero una revista de alta calidad (y que de ninguna manera es una revista de "estudiantes"), con un coautor estudiante de pregrado, que descubrió la demostración de uno de los principales teoremas por su cuenta entre dos de nuestras reuniones de investigación.

Otro ejemplo es la revista Involve , que está dedicada a la investigación genuina de los estudiantes. De su autodescripción :

Involucrar exhibe y fomenta la investigación matemática de alta calidad que involucra a estudiantes de todos los niveles académicos. El consejo editorial está formado por científicos matemáticos comprometidos con fomentar la participación de los estudiantes en la investigación.

Se alientan las presentaciones en todas las áreas matemáticas. Todos los manuscritos aceptados para su publicación en Involve se consideran publicables en revistas de calidad en sus respectivos campos e incluyen un mínimo de un tercio de autoría estudiantil. Las presentaciones deben incluir aportes sustanciales de la facultad; Se recomienda encarecidamente la coautoría del profesorado. En la mayoría de los casos, la presentación (y la carta de presentación adjunta) debe provenir de un miembro de la facultad.

Involve, que cierra la brecha entre los extremos de las revistas de investigación puramente de pregrado y las revistas de investigación convencionales, brinda un lugar para los matemáticos que desean alentar la participación creativa de los estudiantes.

Una cosa que es poco probable que tengan los estudiantes universitarios es la amplitud de conocimientos que se espera de los estudiantes de doctorado. Particularmente en matemáticas, los estudiantes de doctorado son examinados en una variedad de materias y se espera que dominen gran parte del plan de estudios de pregrado. La investigación de pregrado a menudo implica aprender lo suficiente sobre un área en particular para probar nuevos teoremas. El estudiante aún necesita pasar tiempo aprendiendo otras áreas para tener el conocimiento que se espera de un doctorado.

La clave real para los estudiantes universitarios que buscan hacer una investigación publicable es encontrar una colaboración con un buen mentor de la facultad. De hecho, la investigación independiente por parte de estudiantes universitarios es bastante rara (de hecho, la mayoría de los artículos de matemáticas publicados actualmente tienen dos o más autores, incluso los expertos se benefician de la colaboración). El hilo MathOverflow vinculado anteriormente tiene más consejos de otros matemáticos.

Gracias Oswaldo. Tu ejemplo es algo extraño. ¿Tu coautor universitario tendría la oportunidad de hacerlo si no fuera por conocerte?
Tal vez debería haber dicho: escuché que un doctorado es como una contribución original o algo así. ¿Probar algo nuevo no equivale a una contribución original? Una vez más, entiendo que esto puede parecer estúpido.
Creo que sería mucho más difícil para un estudiante universitario publicar un artículo sin ninguna interacción con la facultad, pero sería difícil para cualquier persona que no esté familiarizada con las costumbres de la publicación matemática escribir un artículo adecuado para su publicación, incluso si tuviera una gran aptitud matemática. // Estoy de acuerdo en que probar algo nuevo es una contribución original, y normalmente se requiere una tesis doctoral para tener suficientes contribuciones originales. Sin embargo, no hay mucha diferencia entre la investigación para una tesis doctoral y la investigación en general.
No diría que los estudiantes universitarios frecuentemente prueban cosas nuevas, especialmente no en matemáticas puras. Un pequeño número de estudiantes universitarios de matemáticas realiza investigaciones serias y aún menos hacen contribuciones importantes al trabajo. La mayoría de los estudiantes universitarios apenas tienen las habilidades matemáticas y la perspicacia para hacer contribuciones importantes simplemente debido a la falta de exposición suficiente.
Creo que estamos respondiendo preguntas diferentes: estoy respondiendo "con qué frecuencia los estudiantes universitarios producen nuevas investigaciones", mientras que creo que usted está respondiendo "cuál es la probabilidad de que un estudiante universitario al azar produzca nuevas investigaciones". @CameronWilliams
Respetuosamente discrepo. Estoy diciendo que estás exagerando el éxito de los estudiantes universitarios y supongo que es porque has trabajado con algunos muy exitosos. Mi punto es que, en promedio, muy pocos que realmente investigan hacen contribuciones. Demonios, los estudiantes de doctorado exitosos tal vez terminen con solo uno o dos trabajos cuando terminen.
Hasta ahora, trabajé con tres (grupos de) estudiantes en una escuela no selectiva, lo que resultó en tres artículos revisados ​​por pares que, en sus diarios, no se distinguen de ninguna otra investigación. Todos los estudiantes cumplieron con los estándares habituales de coautoría. (Este registro se debe en parte a que, como investigador, sé lo suficiente como para elegir problemas matemáticos en los que es probable que encontremos contribuciones publicables). investigación publicable como estudiantes universitarios. Como escribí, el tema es mucho más de cultura que de aptitud.
No estoy seguro de que esta sea una respuesta a la pregunta principal (es decir, la pregunta titular, no la línea final de la publicación), que trata sobre la mayoría de las tesis de grado , no sobre cosas como REU. Entonces, la pregunta no es solo de lo que los estudiantes son capaces de hacer, sino de lo que sus asesores de tesis de pregrado piensan que es un buen proyecto. A menudo pienso que es más beneficioso para un estudiante aprender algunas matemáticas establecidas importantes que tratar de hacer algo nuevo que requiere poca experiencia.
@Kimball: Creo que esa es una de las razones de las respuestas tan diferentes. Mi respuesta pretende responder a la pregunta final, no al título de la publicación, que pregunta algo muy diferente. Mi lectura de la publicación en general es que está avanzando hacia la pregunta final, preguntando si los estudiantes universitarios son capaces de probar nuevos resultados.
Un ejemplo que conozco de una tesis de pregrado en matemáticas que demostró algo nuevo es la tesis de Harvard de 1996 de Manjul Bhargava "Sobre órdenes P y funciones polinómicas en subconjuntos arbitrarios de anillos de tipo Dedekind", que luego condujo a publicaciones en Amer. Math., el diario de Crelle y J. Number Theory. Sin embargo, este ejemplo realmente demuestra la dificultad de los estudiantes universitarios para publicar algo nuevo. Bhargava no era un estudiante universitario típico; más tarde se convirtió en uno de los profesores titulares más jóvenes de Princeton y ganó una medalla Fields. No es razonable basar las expectativas generales en casos excepcionales.

Puedo contarte mi experiencia ya que actualmente estoy escribiendo una tesis de licenciatura (aunque como proyecto de verano).

Soy un estudiante de pregrado en matemáticas que actualmente realiza una pasantía de verano de «introducción a la investigación». Estoy estudiando teoría de la probabilidad.

Como estudiante de primer año, dediqué aproximadamente la mitad de mi tiempo a consolidar mi formación matemática en probabilidad, teoría de la medida y análisis. También pasé bastante tiempo estudiando artículos especializados, y finalmente apliqué la teoría general que estudié a un problema específico, donde probé algo «nuevo», siguiendo muy de cerca otros resultados publicados. En el camino, también probé algunos lemas que, si bien no son de interés general, son "nuevos" e interesantes para mí.

Claramente, no se espera que los estudiantes de pregrado encuentren resultados innovadores de interés general. Sin embargo, pueden contribuir a las matemáticas resumiendo y recopilando resultados relacionados de múltiples artículos, aplicando nuevas teorías, encontrando ejemplos, etc.

Un consejo.

No debe apuntar a grandes descubrimientos, sino simplemente tratar de hacer sus propias matemáticas. Hágase muchas preguntas « estúpidas » y encuentre sus respuestas. Así es como terminará con algunos pequeños resultados nuevos. Asegúrese de que puede comprender el panorama general de su campo de estudio, que lo mira desde un punto de vista crítico y que comprende los problemas que lo motivan.

¿Los estudiantes de matemáticas prueban con frecuencia cosas nuevas?

Sí. Pero no grandes cosas y, a veces, cosas que los expertos ya pueden conocer (pero no ampliamente accesibles). Creo que es lo suficientemente bueno para un estudiante universitario probar cosas que son nuevas para él/ella y sus compañeros de clase/asesor/etc.

Algunas de las premisas implícitas de este tipo de preguntas, o las premisas implícitas en las respuestas a la pregunta, son realmente el problema. Estoy totalmente de acuerdo en que los estudiantes universitarios de todos los "calibres" deberían "estar en la sala" cuando se discute algo parecido a las matemáticas "en vivo". Pero/y esto es más significativo cuando observamos la falsedad, la artificialidad y la esterilidad del currículo universitario típico: es falso y moribundo, sin espacio inmediato para que nadie haga nada en absoluto, y tampoco indicios de la realidad. Asqueroso, si. Pero eso no implica de inmediato una especie de "opuesto", que los novatos necesitan saber muy poco para hacer contribuciones significativas. La inteligencia pura ya se ha ejercitado, de manera bastante sistemática, durante algunos cientos de años (¿miles?). La gente ha aprendido cosas útiles, y no saber esto es no saber cómo cambiar una llanta, o una bombilla, o un filtro de horno, o abrir la puerta. Tampoco es que el plan de estudios habitual ayude mucho, ¡estoy de acuerdo! Pero eso no significa que las habilidades operativas básicas (que involucran ocasionalmente matemáticas sutiles, literalmente, aquí) sean irrelevantes. Salir de la degenerada "matemática escolar" es excelente... pero pensar que eso significa "¡no necesitamos saber nada!" es obviamente tonto... incluso si es atractivo. "Complicado".

¿Es común que una tesis de licenciatura en matemáticas puras demuestre algo nuevo?
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