Marco de centro de masa para partículas sin masa

Según la definición newtoniana, el fotón no contaría debido a su masa cero, pero esta es una colisión relativista, por lo que necesita una definición relativista del centro de masa. Relativistamente, el marco de cm es aquel en el que el cuatro vector de momento total del sistema es puramente temporal. No, esto no coincide con el marco del electrón.

Lo que estás describiendo es la dispersión de Compton. En el marco cm, tanto el electrón como el fotón se dispersan a 180 grados con una energía igual a la que entraron.

Para determinar el marco cm, agregue los cuatro vectores de momento y normalice el resultado. Este es el cuadrivector de velocidad del observador cm.

Hay casos en los que esta definición falla. Por ejemplo, si el sistema consta de un solo rayo de luz, entonces el cuatrivector de impulso es similar a la luz, por lo que no puede normalizarlo; no hay un marco de referencia en el que esté en reposo. Pero, por ejemplo, si su sistema consta de dos rayos de luz que se mueven en diferentes direcciones, entonces hay un marco de cm.

El marco de referencia del centro de masa es, por definición, aquel en el que el total$3$-el impulso se desvanece. Casi siempre existe también para partículas sin masa como voy a discutir.

El total$4$-impulso$P$de un sistema de$N$ partículas libres es la suma de sus$4$-momentos de las partículas, es decir,

$$P = \sum_{a=1}^N P_{(a)}\:,$$ donde cada uno $P_{(a)}$es una relación causal que no se desvanece y está orientada hacia el futuro . $4$-vector (es decir, es similar al tiempo o similar a la luz).

Por propiedades estándar de sumas de vectores causales para$N\geq 2$, uno se da cuenta de que$P$es causal también, y no puede ser como la luz a menos que todos$4$-momentos del sistema$P_{(a)}$son paralelos y ligeros. Si al menos una partícula no es sin masa, como en el caso que consideras,$P$resulta ser temporal y, por lo tanto, el centro de masa está bien definido.

De hecho, cuando el total$4$impulso$P$es temporal y dirigido hacia el futuro (hasta$4$-traslaciones y rotaciones espaciales que no cambian cinemáticamente) hay un marco de referencia minkowskiano orientado al futuro (*) cuyo eje temporal$\partial_t$verifica$P = k \partial_t$para algunos$k>0$.

En ese marco de referencia,$P$no tiene componentes perpendiculares a$\partial_t$. En otras palabras, el$3$-el impulso se desvanece. Ese es el marco de referencia del centro de masa del sistema físico.

El hecho de que incluso un sistema de partículas sin masa tenga un centro de masa (excluyendo el caso señalado anteriormente) no debería sorprender porque la masa (invariante) de las partículas aquí no importa . A diferencia del caso clásico, lo que importa es la energía y es estrictamente positiva también para los fotones. Ilustremos este hecho. En la imagen clásica, uno tiene que buscar un marco de referencia donde

$$\vec{0} =\sum_{a=1}^N m_a \vec{v}_a\:.$$

En cambio, en el reino relativista, en cambio, la ecuación relevante es

$$\vec{0} = \sum_{a=1}^N \vec{P}_a = \sum_{a=1}^N E_a\vec{v}_a$$

donde el$4$-el impulso se descompone en su componente de energía (temporal) y su$3$-componentes de cantidad de movimiento (espaciales) como

$$P_a = (E_{(a)}, \vec{P}_{(a)})$$ (Asumo $c=1$) y en consecuencia la $3$-la velocidad es $$\vec{v}_{(a)}= \frac{\vec{P}_{(a)}}{E_{(a)}}\:.$$

Ves que, también si algunas de las partículas son fotones, tenemos$E_{(a)}>0$, porque$E_{(a)}^2 - \vec{P}^2_{(a)}=0$y$P_{(a)}\neq 0$en ese caso.

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(*) Esto es consecuencia de que, hasta las dilataciones, el grupo ortocrónico de Lorentz$O(3,1)_+$actúa transitivamente en el interior del futuro lightcone.

El argumento de que "el fotón no tiene masa" es inherentemente defectuoso por al menos dos razones. Primero, la formulación exacta es "la masa invariante del fotón es igual a 0". No significa que la cantidad no esté definida. Está definido, pero tiene valor cero.

En segundo lugar, la masa invariante en relatividad no suma (no es una cantidad extensiva) incluso para partículas que no interactúan. La masa invariante de un sistema de varias partículas que no interactúan es mayor o igual que la suma de la masa de los constituyentes, y el caso "igual" ocurre solo cuando todos los 4 momentos son paralelos (los centros de masa de los constituyentes tienen velocidad cero en alguna referencia). marco para constituyentes masivos, viajando en dirección paralela para constituyentes sin masa, y nunca sucede cuando hay constituyentes masivos y sin masa). Sí, una partícula masiva y un fotón emitido siempre tienen juntos una masa mayor que la partícula sola. No es relevante para el caso actual, solo para que conste: para los cuerpos que interactúan (es decir, se atraen), este defecto de masa puede tener cualquier signo.

Otro enfoque: no necesita especular cómo la masa del fotón es pequeña (si la hay) mientras que su impulso es definitivamente distinto de cero.

Por lo tanto, deseche el pensamiento de que "se puede ignorar el fotón" y calcule los momentos.