Derivación de igualdad de variables de Mandelstam para el proceso de canal sss

Se supone que debo mostrar que la variable Mandelstam

$s=(p_1^2 + p_2^2) = 4(P_{cm}^2 + m^2)$

para una interacción electrón/positrón, donde$p_1$es el 4-momento incidente del electrón y$p_2$es el 4-momento incidente del positrón,$m$es la masa electrón/positrón, y$P_{cm}$es la magnitud de los 3 momentos de las partículas incidentes y dispersadas en el marco del centro de masa. La derivación que dio mi profesor es la siguiente:

$(p_1^2 + p_2^2) = (E_1 + E_2)^2 - (\vec p_1 + \vec p_2)^2$

En el marco del centro de masa,$\vec p_1 + \vec p_2 =0$(dado que cada uno son los 3-momentos regulares de las partículas), entonces

$=(E_1 + E_2)^2 = (2E)^2$dado que la energía de cada partícula es la misma en el marco del centro de masa, simplemente expresamos cada energía como$E$.

Pero entonces el paso que no entiendo es el siguiente:

$E^2 = P_{cm}^2 + m^2$

que se conecta a$(2E)^2$para obtener la respuesta final. Creo que la ecuación en la línea de arriba proviene de la relación energía-momento relativista pero no veo cómo podemos cambiar de la energía$E$en el marco del centro de masa para$P_{cm}^2$, que generalmente no está en el marco del centro de masa. Es$E^2$¿un invariante de Lorentz? Si es así, puedo entender cómo funciona en la derivación.

Editar: como se señaló,$P_{cm}$no es la cantidad de movimiento del centro de masa sino la cantidad de movimiento en el marco del centro de masa. Esto significa que el párrafo anterior es irrelevante. Por lo tanto, la relación energía-cantidad de movimiento se cumple porque$P_{cm}$es el momento de cada partícula en el marco del centro de masa, por lo que no hay saltos entre marcos como pensaba anteriormente.