¿Los superconductores topológicos exhiben un orden topológico enriquecido por simetría?

Se dice que los hamiltonianos separados con un estado fundamental que tiene entrelazamiento de largo alcance (LRE) tienen un orden topológico (TO), mientras que si el estado fundamental tiene entrelazamiento de corto alcance (SRE), se encuentran en la fase trivial. Las propiedades topológicas de un sistema con orden topológico (como estadísticas anónicas, degeneración del estado fundamental, etc.) están protegidas contra cualquier perturbación del hamiltoniano que no cierre la brecha de energía por encima del estado fundamental. Ver más detalles aquí .

Si además requerimos que el sistema esté protegido por una simetría GRAMO , los estados LRE se dividen aún más en varias clases denominadas orden topológico enriquecido con simetría (SET). El estado SRE (que es trivial sin protección de simetría) también se divide en varias clases denominadas orden topológico protegido por simetría (SPT). Las características físicas adicionales de estos sistemas (como los estados de borde sin brechas) solo están protegidas contra perturbaciones que no cierran la brecha ni rompen la simetría. GRAMO .

Se sabe que los aisladores topológicos pertenecen a estados SPT, son SRE y sus propiedades topológicas solo están protegidas por una simetría. Los primos relacionados con los aisladores topológicos son los superconductores topológicos . En este contexto, uno suele pensar en los superconductores como aislantes + simetría partícula-agujero (que proviene de la notación espinor Bogoliubov de Gennes Hamiltonian + Nambu). Esto podría llevarlo a concluir que los superconductores topológicos también son estados SPT.

Sin embargo, algunos saben que los superconductores no pueden describirse mediante un parámetro de orden invariante de calibre local como las fases habituales de la materia que rompen la simetría (pero existe un parámetro de orden invariante de calibre no local). Un superconductor de onda s es en realidad ordenado topológicamente (y, por lo tanto, LRE), y exhibe estadísticas anónicas, degeneración del estado fundamental en variedades de género superior, descripción de la teoría cuántica de campo topológica (TQFT) de baja energía, etc. Está topológicamente en la misma fase que el famoso código tórico de Kitaev, el Z 2 orden topológico. Ver detalles aquí .

Ahora, mi pregunta es la siguiente: ¿es incorrecto considerar los superconductores topológicos (como ciertos superconductores de onda p) como estados SPT? ¿No son en realidad estados SET?

Esta pregunta se inspiró en una pregunta reciente de Oaoa physics.stackexchange.com/questions/71151/… .
Una pregunta de principiante: en su primera referencia , fig (3), página 6, parece que SRE y LRE podrían considerarse sin simetría o con simetría, y en el caso de simetría, con ruptura de simetría (SB) o simetría respetado (SY). Entonces parece que SRE y LRE difieren solo por el hecho de que podemos o no desentrañar un estado por operación unitaria local, y no depende del comportamiento relativo a las simetrías. ¿Es esto correcto?
En la misma referencia , página 7, los autores afirman que: "(C) La ruptura de simetría y el enredo de largo alcance pueden aparecer juntos en un estado, como SB-LRE 1, SB-LRE 2, etc. en la Fig. 3 (b) Los estados superconductores topológicos son ejemplos de tales fases".
@Trimok Sí, exactamente, si no declaramos que ninguna simetría es sagrada, entonces la diferencia entre los estados SRE y los estados LRE es como usted lo declara. Por lo tanto, las propiedades topológicas de los estados LRE están protegidas solo por la brecha de energía, puede romper cualquier simetría que desee, solo que la brecha no está cerrada (en principio, puede golpear el sistema con un martillo o dispararle con una pistola, siempre que el la brecha está protegida). ¡La cita sobre superconductores topológicos que acaba de encontrar parece responder exactamente a mi pregunta! ¡Muchas gracias! ¡No es tanto un principiante después de todo! ;)
"Podría" tener una respuesta definitiva para ti, Heidar. Pero solo para lo específico. pags + i pags caso. Hace poco asistí a una de las conferencias de Kitaev y dijo que pags + i pags NO tiene orden topológico. ¡Yo mismo no tengo una comprensión completa considerando que la charla fue muy breve! Además, para mi molestia, ¡su conferencia se basó principalmente en trabajos inéditos! Pero si ayuda de alguna manera, dibujó esta tabla en la pizarra: i.stack.imgur.com/7mOry.jpg . Lo siento, no puedo ser de mucha ayuda. ¡Pero podría ser una buena estrategia asumir que Kitaev tiene razón y aplicar ingeniería inversa a sus resultados!
Uno debe tener cuidado porque no estoy muy seguro de cuán estandarizada es esta terminología. El "orden topológico" se ha adjuntado a muchas cosas en la parte trivial de la clasificación de Gang Xiao Wen. Particularmente, no estoy seguro de cómo "la mayoría" de las personas consideran la invariancia de calibre en esta discusión. Suponga que coloca su sistema en una pila de granos superconductores: ¿se mantiene el orden topológico? Entonces, ¿hay tal vez una forma física de reformular esta pregunta? ¿Quizás en términos de conectividad adiabática bajo condiciones particulares?
@NanoPhys Sí, el famoso trabajo inédito de Kitaev en el que todo se ha resuelto. He escuchado muchos rumores sobre su existencia, pero casi nada sobre su contenido. :Creo que hay mucha confusión en el campo, en parte debido a (como dice BebopButUnsteady), usos no equivalentes de la palabra "orden topológico" y LRE. Estoy utilizando principalmente las definiciones y convenciones de Wen y colaboradores. Por ejemplo, Kitaev dice que el mi 8 -estado no es LRE. Sin embargo, creo que es LRE, según la definición de LRE de Wen, al menos le he oído decir eso. (continuado)
Pero no he entendido por qué exactamente (esa podría ser otra pregunta que debería hacer). Al menos creo que entiendo por qué Kitaev pone el mi 8 -estado bajo no-LRE. Si mal no recuerdo, en esta charla pirsa.org/displayFlash.php?id=13050050 , John McGreevy habla sobre las definiciones de LRE de la costa este (Wen) frente a la costa oeste (Kitaev) (no puedo confirmar esto, no tengo audio aquí ahora mismo). El costo este es uno de mi definición anterior (usando operaciones unitarias locales) y el costo oeste requiere que la entropía de entrelazamiento topológico γ es distinto de cero. (continuado)
Para el mi 8 decir que es cero γ = 0 , y por lo tanto no LRE bajo (lo que creo que es) la definición de Kitaev. Sin embargo, no estoy muy seguro de por qué ese debería ser el caso para pags + i pags estado. Mi vago entendimiento es que todos los superconductores (posiblemente excepto los que tienen puntos sin espacios) están ordenados topológicamente, con un tipo de código tórico Z 2 orden topológico. Donde los vórtices, las excitaciones de carga y sus estados ligados dan lugar a un modelo abeliano de anyon. Pero cuando se supone una simetría adicional, como la inversión del tiempo, puede haber una extensión de a ising anyons debido a los modos cero de Majorana.
No estoy seguro de si mi comprensión es correcta. Al menos, estoy muy intrigado por entender por qué Kitaev considera que la pags + i pags superconductor como SRE.
@BebopButUnsteady ¡Muchas gracias por la corrección del título! ¡Mi gramática en inglés no es lo que debería ser!
Este documento salió hoy: arxiv.org/pdf/1307.4403.pdf . Tiene una gran discusión sobre el superconductor p+ip en las primeras páginas. Podría ser de su interés.

Respuestas (2)

Permítanme responder primero a su pregunta "¿es incorrecto considerar los superconductores topológicos (como ciertos superconductores de onda p) como estados SPT? ¿No son en realidad estados SET?"

(1) Los superconductores topológicos, por definición, son estados de fermiones libres que tienen simetría de inversión de tiempo pero no simetría U(1) (al igual que el aislador topológico siempre tiene simetría de inversión de tiempo y U(1) por definición). Los superconductores topológicos no son superconductores p+ip en 2+1D. Pero pueden ser superconductores de onda p en 1+1D.

(2) El superconductor topológico 1+1D es un estado SET con un modo Majorana-zero al final de la cadena. Pero la simetría de inversión del tiempo no es importante. Incluso si rompemos la simetría de inversión de tiempo, el modo cero de Majorana aún aparece al final de la cadena. En dimensiones superiores, los superconductores topológicos no tienen orden topológico. Por lo tanto, no pueden ser estados SET.

(3) En dimensiones superiores, los superconductores topológicos son estados SPT.

La terminología es muy confusa en la literatura:

(1) El aislador topológico tiene un orden topológico trivial, mientras que los superconductores topológicos tienen un orden topológico en 1+1D y ningún orden topológico en dimensiones superiores.

(2) Los superconductores de onda s 3+1D (o superconductores de onda s de libros de texto que no tienen un campo de calibre U(1) dinámico) no tienen un orden topológico, mientras que los superconductores de onda s 3+1D de la vida real con U dinámico (1) el campo calibre tiene un orden topológico Z2. Entonces, los superconductores topológicos de la vida real 3 + 1D (con campo de calibre dinámico U (1) y simetría de inversión de tiempo) son estados SET.

(3) el superconductor p+ip BCS en 2+1D (sin campo de calibre U(1) dinámico) tiene un orden topológico no trivial (es decir, LRE) según lo definido por las transformaciones unitarias locales (LU). Incluso el estado nu=1 IQH tiene un orden topológico no trivial (LRE) según lo definido por las transformaciones LU. La cadena de Majorana también es LRE (es decir, ordenada topológicamente). Kitaev no usa la transformación LU para definir LRE, lo que lleva a una definición diferente de LRE.

(i) En dimensiones ≥ 2 + 1 , los superconductores topológicos de libro de texto no tienen orden topológico, y no pueden ser estados SET, sino solo estados SPT. (ii) Sin embargo, los superconductores topológicos de la vida real tienen un orden topológico y son estados SET. (iii) El orden topológico 1+1D y SET tienen su orden topológico no robusto frente a perturbaciones locales. ¿Lo reformulo correctamente?
Gracias por la respuesta. ¿Podría sugerir literatura que muestre que en 2+1D un superconductor p+ip calibrado o un superconductor DIII es una teoría de calibre Z_2?

Permítanme elaborar brevemente, aunque no respondo (¿en absoluto? ciertamente :-) ya que todas estas nociones son bastante nuevas para mí, sobre lo que sé de mi trabajo peatonal sobre superconductores.

Creo que todo es mucho más complicado cuando miras los detalles, como siempre. También puedo comentar (y me encantaría que me contradigan sobre eso, por supuesto) que la búsqueda de Wen de una definición hermosa sobre el orden topológico de alguna manera le permite alejarse de las contrariedades de la materia realista.

s El superconductor de ondas puede verse como un orden topológico / estado entrelazado de largo alcance, como en la revisión a la que se refiere: Hansson, Oganesyan y Sondhi . Pero también está protegida por simetría. Creo que eso es lo que llamas un orden topológico enriquecido con simetría . Estoy realmente enojado cuando la gente da por sentada la clasificación de simetría. s Los superconductores de ondas exhiben simetría de inversión de tiempo además de la de orificio de partícula y, por lo tanto, una simetría quiral gratuita, hasta ahora todo bien. Suponga que agrega una impureza magnética. ¿Se cerrará la brecha? Por supuesto que no ! La brecha es robusta hasta una cantidad determinada de impurezas (incluso puede adoptar un argumento práctico que diga que la energía total de las impurezas debe ser del mismo orden que la brecha de energía para cerrar la brecha). Incluso puede terminar con un superconductor sin espacios ... ¿qué es esa bestia? Ciertamente, no es un personal ordenado topológicamente, supongo. Más detalles al respecto en el libro de Abrikosv, Gor'kov y Dzyaloshinski. Entonces, mi primer comentario sería: por favor, no confíes demasiado en la clasificación., pero creo que ese también era parte del mensaje de su pregunta. [Dado que estamos lidiando con los detalles desagradables, también hay una gran cantidad de superconductividad reentrante predicha cuando la brecha se cierra y luego se vuelve a abrir en un campo magnético más alto (digamos). Algunos de ellos han sido vistos experimentalmente. ¿Significa que el bolsillo de reentrada no es topológicamente trivial? No tengo idea, ya que estamos demasiado lejos de la hermosa definición de Wen / costa este, creo. Pero generalmente se cree que abrir -> cerrar -> abrir brecha proporciona una fase topológicamente no trivial para los físicos de la materia condensada.]

Entonces, mi comprensión sobre este punto es: ¿qué hace la simetría?

  • Si crea la brecha en el volumen y/o el cierre de la brecha en el borde, entonces no es un buen criterio. La mayoría de las simetrías como esta se escriben genéricamente como simetría quiral o sub-retícula (la C ≡ PAGS T en la clasificación). Algunos aisladores topológicos solo tienen esta simetría (grafema en particular si no recuerdo mal), ya que la partícula-agujero ( PAGS ) la simetría define los superconductores. Según Wen, esta situación no conduce al orden topológico en la discusión que tuvimos anteriormente.

  • Si la simetría refuerza la brecha, entonces te protege contra la perturbación. Una vez más, la simetría de inversión temporal de la s -el superconductor de onda protege contra cualquier perturbación de inversión de tiempo (el teorema de Anderson). ¡Pero no es responsable de la aparición de la brecha! Confieso que ese es realmente el punto de vista de un físico de materia condensada, lo que podría ser realmente molesto para aquellos que desean hermosas descripciones matemáticas. Pero claramente el T -la simetría no debería cambiar nada sobre el enredo de largo alcance para s -ola (según creas, por supuesto :-)

Como para pags + i pags , también se llama fase polar en superfluido (recuerde que no hay pags -onda superconductora en la naturaleza por el momento, solo en superfluido neutro). Como comenta Volovik en su libro , esta fase no es estable (capítulo 7 entre otros). A veces se la denomina fase topológica débil , lo que no tiene sentido. Simplemente corresponde a un ajuste fino de la(s) interacción(es) en superfluido. La fase B es robusta y completamente separada. Así que la vía peatonal es solo una forma de decir que el pags + i pags no es robusto, y que debería tener una transición estructural (del parámetro de orden) a la fase B más robusta. NB: Bien puedo confundir los nombres de las fases sutiles del superfluido, ya que allí es una verdadera jungla :-(.

Finalmente, para tratar de responder a su pregunta: no estaría de acuerdo. Un superconductor topológico (en el sentido de materia condensada: un pags -ola decir) no tiene T simetría. Así que es difícil para mí decir que está enriquecido con simetría de la forma en que lo usé para s -ola. Sin embargo, esa es la razón por la simetría pags -onda (si existe en los materiales) debe ser muy débil con respecto a las impurezas. [Todavía estando en los detalles desagradables: por algunas razones que no aprecio completamente, la Majorana puede ser más robusta que la brecha en sí misma, incluso si es difícil discutir este punto ya que necesita discutir un semiconductor sucio con una fuerte órbita de espín y efecto paramagnético en proximidad con un s -superconductor de ondas, que es asombrosamente más complicado que un pags -modelo de onda con impurezas, pero este último no debería existir, así que...] Tal vez estoy totalmente equivocado en eso. Parece que las palabras no son realmente útiles en los estudios topológicos. Es mejor referirse a la descripción matemática. Digamos, si Chern-Simons (CS) describe el sector de baja energía, ¿estaríamos (¿o no?) en un orden topológico? Entonces la siguiente pregunta sería: ¿este CS es inducido por simetría o no? (No tengo respuesta para esto, todavía estoy buscando mecanismos sobre el CS, también una idea para otra pregunta).

Post-scriptum: Me disculpo profundamente por esta larga respuesta que ciertamente no ayuda a nadie. Sin embargo, tengo la secreta esperanza de que empieces a entender mi punto de vista sobre ese bastón: la simetría puede ayudar y tener un problema en el orden topológico, pero ciertamente no son responsables del gran avance que hizo Wen sobre el enredo de largo alcance. Necesita una teoría de calibre local para esto, con propiedades globales.

¿Los superconductores topológicos exhiben un orden topológico enriquecido por simetría?
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