la primera ley de Kepler; manera matemática de pensar

Tengo la primera ley de Kepler del movimiento planetario:

(1) r = pag 1 + ϵ porque ⁡ ( θ ) .

Ahora para ϵ Tengo:

(,) 0 < ϵ = 1 + 2 ⋅ η ⋅ h 2 m 2 < 1

porque es una elipse

Ahora para m :

(3) m = GRAMO ⋅ METRO ,

y para η :

(4) η = − m 2 a ,

dónde a = r min + r máximo 2 .

Preguntas:

  1. Para la órbita de la Tierra alrededor del sol, ¿qué masa ( METRO ) debo elegir, la masa del sol o la masa de la tierra?
  2. Qué es h en la ecuación para ϵ y ¿cómo puedo encontrar el valor para ello?
  3. ¿Cuáles son los valores de r min y r máximo ?

Respuestas (1)

  1. METRO representa la masa del Sol.

  2. h es el momento angular. se define como h → = r → × pag → , dónde pag → es el momento lineal. Para fuerzas centrales (como la gravitacional) se conserva y es perpendicular al plano de la órbita. Por lo tanto, si conoces la velocidad v → del planeta, así como su radio vector r → en algún instante, conoces el momento angular en todas partes de la órbita. También puede calcular su magnitud a partir de la segunda ley de Kepler si conoce el área A y periodo T de la órbita. están relacionados como

    A = h T 2 metro ,
    dónde metro es la masa del planeta.

  3. r metro i norte y r metro a X son la distancia mínima y máxima del planeta al sol. Se puede calcular para ser

    r ± = r 0 1 ± 1 − mi mi 0 ,
    donde el signo más (menos) se refiere a la distancia mínima (máxima). El constante mi es la energía mecánica del planeta. Es un parámetro libre, puedes escribir la excentricidad de la órbita en términos de él,
    ϵ = 1 − mi mi 0 .
    El constante mi 0 es la energía más pequeña que puede tener una órbita (movimiento circular),
    mi 0 = − GRAMO 2 METRO 2 metro 3 2 h 2 .
    Finalmente la constante r 0 es el radio de la órbita circular,
    r 0 = h 2 GRAMO METRO metro 2 .

En primer lugar, gracias por tu respuesta. Cómo puedo encontrar r 0 , mi y mi 0 ? Y lo que es r 0
Y que son A y T por valores?
@treq Por favor, eche otro vistazo, respondí sus comentarios en la respuesta.
Ok, gracias! Pero, ¿qué quiere decir con 'parámetro libre'? segundo que es A ? tercero es T el numero de segundos en un año?
Significa que debes especificar la energía y para cada uno de sus valores obtienes la órbita. La geometría de la órbita se ve como una función de la energía. La variable A es el área de la elipse.
Bien, ¿cuál es esa función de la energía?
@treq Como veo, tienes algunos problemas con los conceptos. Hay algunos buenos libros que abordan este tema en un nivel amistoso. Por ejemplo, Klepner y Kolenkow - Una introducción a la mecánica y Knudsen y Hjorth - Elementos de la mecánica newtoniana hacen un buen trabajo.
Muy buena respuesta. Secundo a Kleppener y Kolenkow, lo usé este año para mi clase de mecánica.
Estrictamente hablando, M es la masa del Sol más la masa de la Tierra. En la práctica, esto introduce un error en el quinto o sexto decimal con respecto a la órbita de la Tierra alrededor del Sol. OTOH, dado que la masa de la Luna es aproximadamente 0.0123 veces la de la Tierra, ignorar la masa de la Luna al calcular el movimiento medio da como resultado un error de cuatro horas en el cálculo del período de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra.
@DavidHammen Sí, eso es cierto. Y metro es la masa reducida. Creo que cuando se habla de la ley de Kepler, tal como se estableció originalmente para describir el movimiento de los planetas alrededor del Sol, se pueden pasar por alto tales detalles. Por supuesto que en el problema de dos cuerpos en general eso no es aceptable. Gracias por señalar esto de todos modos!
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