Velocidad máxima de la sonda solar Parker

Esto no está bien:

¿No es la velocidad orbital proporcional a$1/\sqrt{r}$?

Para una órbita elíptica kepleriana con energía constante, la relación que estás buscando es

$$\frac12 mv^2 - \frac{GMm}{r} = E = \mathrm{const}.$$ La velocidad orbital es sólo proporcional a $1/\sqrt{r}$cuando $E=0$, es decir, para una órbita parabólica. Para las órbitas circulares y casi circulares, la energía orbital total es aproximadamente la mitad de la energía potencial (en magnitud), por lo que si lo omite, obtendrá algunos números muy incorrectos.

Para la órbita elíptica de Parker Solar Probe, los datos que ha proporcionado (una velocidad de perihelio de$430,000\:\mathrm{mph} = 192\:\mathrm{km/s}$en un perihelio de$6.9\:\rm Gm$) le permite calcular la energía orbital específica como

$$\begin{align} \frac Em & = \frac12 v_0^2 - \frac{GM_\odot}{r_0} \\& \approx - 800 \: \rm km^2/s^2 \end{align}$$ y con eso puedes calcular la velocidad del afelio:

• a la verdadera distancia del afelio, en el radio orbital de Venus de$r_1=108\:\rm Gm$, donación $$v_1 = \sqrt{2\left(E_0 + \frac{GM_\odot}{r_1}\right)} \approx 29 \:\rm km/s$$
• en un afelio (¡completamente falso!) en el radio orbital de la Tierra, lo que produce una velocidad de afelio de aproximadamente$v_2\approx 13\:\rm km/s$.

Aquí$v_1$es aproximadamente igual a la velocidad orbital de la Tierra (pero en un afelio mucho más bajo) mientras que$v_2$(que corresponde a una órbita completamente ficticia que podría no tener ningún sentido) es mucho más lento que eso.

Además, es importante profundizar un poco en esto:

La Tierra está a unos 94 millones de millas del centro del sol. Por lo tanto, esta cosa debería orbitar$(94/5)^2$veces más rápido que nosotros.

Eso presupone que la sonda va directamente al Sol y luego regresa al radio orbital de la Tierra, que no es como se planifica la órbita. En cambio, la órbita incluye un sobrevuelo de Venus en la primera órbita, lo que reducirá drásticamente el afelio y drenará la energía orbital; el segundo afelio estará en algo así como 0.9 AU y solo desciende desde allí, a través de una serie de sobrevuelos de Venus a través de la misión que eliminará repetidamente la energía orbital y reducirá tanto el perihelio como el afelio:

^{Fuente de imagen}

^{Fuente de la imagen Sobrevuelos de Venus marcados como círculos verdes.}

¿No es la velocidad orbital proporcional a$1/\sqrt r$?

Como mencionó Emilio Pisanty en su respuesta, esa es la velocidad de un objeto en una trayectoria parabólica. Eso requiere una velocidad bastante alta. La velocidad orbital cae a$1/\sqrt{2r}$para un objeto en una órbita circular. La regla general, para todo tipo de órbitas en el problema de dos cuerpos, está dada por la ecuación vis viva ,

$$v^2 = G(M_1+M_2)\left(\frac2r-\frac1a\right)$$ dónde $v$es la velocidad relativa entre los dos objetos que gravitan, $M_1$y $M_2$son sus masas, $r$es la distancia entre los objetos, y $a$es la longitud del semieje mayor de la sección cónica (círculos, elipses, parábolas e hipérbolas). Tenga en cuenta que la longitud del semieje mayor es infinita para una parábola y negativa para una hipérbola. En el caso de una masa diminuta como la sonda espacial Parker y una masa grande como el Sol, esto se reduce a $$v^2 = \mu_\odot\left(\frac2r-\frac1a\right)$$ dónde $\mu_\odot \equiv GM_\odot$es el parámetro gravitatorio estándar del Sol .

La ecuación de vis viva aparece con tanta frecuencia en la mecánica orbital que vale la pena recordarla.

Después de múltiples asistencias de gravedad de Venus, la distancia del perihelio de la sonda espacial Parker será h = 3,83 millones de millas sobre la superficie del Sol, o$r_\odot+h$del centro del Sol. Su distancia de afelio estará un poco por encima$R_v$, el radio orbital de Venus. La longitud del semieje mayor de la órbita es, por lo tanto,$(R_v+r_s+h)/2$, y la velocidad en el perihelio es

$$v_p = \sqrt{\mu_\odot \left(\frac2{r_\odot+h} - \frac2{R_v+r_\odot+h}\right)} = \sqrt{\frac{2\mu_\odot}{R_v+r_\odot+h}\frac{R_v}{r_\odot+h}}$$

Uno podría pasar por el tedio de buscar el radio del Sol ($695700\, \text{km}$) y parámetro gravitatorio ($132712440018\,\mathrm{km}^3/\mathrm{s}^2$), el radio orbital de Venus ($108208930\,\text{km}$), y convertir 3,83 millones de millas en algo sensato ($6164000\,\mathrm{km}$), llega a una respuesta de 190,8 km/s con la ayuda de una buena calculadora en línea .

Pero ¿por qué molestarse? La calculadora en línea vinculada es bastante inteligente. Puede hacer esas cosas tediosas. Solo dile lo que quieras .