¿Cómo derivar la ecuación de Kepler?

Tenía una pregunta relacionada en la que básicamente derivé esa ecuación sin que yo lo supiera.

Para esto supuse que la siguiente relación entre el radio,$r$, y la verdadera anomalía,$\theta$, es correcto,

$$r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos{\theta}}$$ con $a$el semieje mayor y $e$la excentricidad.

Al usar la segunda y la tercera ley de Kepler, puede obtener una expresión para el tiempo (desde el paso del periapsis) en función de la verdadera anomalía, que se ve así:

$$t(\theta)=\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}\left(2\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\tan{\frac{\theta}{2}}\right)-\frac{e\sqrt{1-e^2}\sin{\theta}}{1+e\cos{\theta}}\right)$$ Esta ecuación es equivalente a la ecuación de Kepler, porque la anomalía media y excéntrica se definen de la siguiente manera: $$M=t\sqrt{\frac{\mu}{a^3}}$$ $$\tan{\frac{\theta}{2}}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan{\frac{E}{2}}$$ Algunas sustituciones son fáciles de ver, a saber, cómo obtener $M$en el lado izquierdo, dividiendo por $\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}$, y cómo obtener el término lineal de $E$, que permite obtener la siguiente ecuación: $$M=E-\frac{e\sqrt{1-e^2}\sin{\theta}}{1+e\cos{\theta}}$$ Demostrando que el término restante se puede expresar como un producto del seno de $E$y la excentricidad $e$es más difícil, así que $$\sin{E}=\frac{\sqrt{1-e^2}\sin{\theta}}{1+e\ \cos{\theta}}$$

Con el uso de una variable temporal es posible probar esto. Esta variable, llamémosla$\alpha$, se define de la siguiente manera,

$$\alpha = \tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan{\frac{E}{2}}.$$

De esta manera los términos trigonométricos en la fracción se convierten en:

$$\sin \theta = \sin \left( 2 \tan^{-1} \alpha\right) = \frac{2\alpha}{1+\alpha^2}$$

$$\cos \theta = \cos \left( 2 \tan^{-1} \alpha\right) = \frac{1-\alpha^2}{1+\alpha^2}$$

Sustituyendo estos de nuevo en la fracción se obtiene:

$$\frac{\sqrt{1-e^2}\sin{\theta}}{1+e\ \cos{\theta}} = \frac{\sqrt{1-e^2}\frac{2\alpha}{1+\alpha^2}}{1+e\frac{1-\alpha^2}{1+\alpha^2}} = \frac{2\sqrt{1-e^2}\alpha}{1+e+(1-e)\alpha^2}$$

Ahora, sustituyendo en la expresión por$\alpha$que es una expresión de$E$da:

$$\frac{2\sqrt{1-e^2}\alpha}{1+e+(1-e)\alpha^2} = \frac{2\sqrt{(1+e)(1-e)}\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan{\frac{E}{2}}}{1+e+(1-e)\left(\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan{\frac{E}{2}}\right)^2} = \frac{2(1+e)\tan{\frac{E}{2}}}{(1+e)\left(1+\tan^2{\frac{E}{2}}\right)}$$

En esta última expresión la dependencia de la excéntricamente,$e$, se puede eliminar, lo que produce,

$$\frac{2\tan{\frac{E}{2}}}{1+\tan^2{\frac{E}{2}}} = \frac{2\frac{\sin(E/2)}{\cos(E/2)}}{1+\frac{\sin^2(E/2)}{\cos^2(E/2)}} = \frac{2\frac{\sin(E/2)}{\cos(E/2)}}{\frac{\cos^2(E/2)+\sin^2(E/2)}{\cos^2(E/2)}} = 2\sin\frac{E}{2}\cos\frac{E}{2}=\sin E$$

Por lo tanto se puede demostrar que:

$$\frac{\sqrt{1-e^2}\sin{\theta}}{1+e\ \cos{\theta}}=\sin{E}$$