Velocidad del sonido en 1D usando presión y densidad

Estoy tratando de calcular la velocidad del sonido en una cadena infinita de osciladores armónicos 1D usando la relación

tu 2 = ∂ PAG ∂ ρ
He visto varias veces la derivación usando F = metro a = metro d 2 X / d t 2 y luego la descomposición de Fourier para obtener la relación del pecado, sin embargo, este enfoque realmente me está molestando.

En 1D la presión es solo la fuerza, entonces PAG = k ( − 2 X norte + X norte − 1 + X norte + 1 ) , pero no estoy seguro de cuál es la densidad. Supongo que es solo metro / L , pero tomamos L ser infinito, por lo que va a 0. Tengo curiosidad por saber cuál es la densidad adecuada para usar en este escenario.

la densidad sería la masa de cada partícula dividida por la distancia entre dos partículas.
Entonces, si es diatómica (m1--m2--m1--), ¿la densidad es solo la masa/separación promedio?
@ yankeefan11 Para mantener las unidades consistentes, es realmente masa/longitud/profundidad de la unidad/altura de la unidad. De lo contrario, tendrás que hacer cosas extrañas como cambiar todas las demás unidades de la ecuación. Al final del día, sí, es solo masa / longitud porque tomas la unidad de profundidad y altura como 1. Pero no olvides que están ahí.
@ tpg2114 Bueno, cancela el término Área de la Presión. Entonces, ¿cómo trato el caso diatómico en términos de densidad y fuerza, ya que tengo términos que son dx/dm1?

Respuestas (1)

La velocidad del sonido en tal cadena armónica depende de la frecuencia: En una onda

X norte = pecado ⁡ ( k norte − ω t )
la frecuencia angular ω y número de onda k están relacionados por
ω = 2 C pecado ⁡ ( k / 2 )
dónde C 2 = k / metro .

Estoy familiarizado con eso. Sin embargo, me piden que resuelva usando la ecuación que escribí, que requiere la fuerza en cada HO y la densidad.
Supongo que mi punto es que no hay "velocidad del sonido", ya que depende de la frecuencia. Para ondas largas es mi C medido en "partículas pasadas por segundo". Su expresión no dice qué tan separados están los X norte en equilibrio, por lo que no podemos convertir "partículas que pasan por segundo" a metros por segundo sin esa información adicional.
El espaciado es solo una constante de celosía a (que es el tamaño de celda primitivo). Tengo la idea de que puedes expandir xn con Fourier y resolver para ω en función de algún cuasi momento q y las masas. También sé que la velocidad del sonido es la aproximación de que q tiende a 0, por lo que el argumento sen se convierte en el argumento y omega es lineal en q, con la proporcionalidad de la velocidad del sonido. lo que no veo como sacaria esto de la formula de laplaces dp/dp
Entonces la densidad ρ = metro / a , la velocidad del sonido es a k / metro = k a / ρ lo que hace que el módulo volumétrico k = k a . Recuerda que la velocidad del sonido es C 2 = k / ρ y k = ρ d PAG / d ρ
Por cierto, la fuerza no es la presión, es el gradiente de la presión.
Velocidad del sonido en 1D usando presión y densidad
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