Fórmulas de gravedad de Newton para elipses

Algunas veces me he encontrado con fórmulas, que son idénticas para órbitas circulares y elípticas, excepto que las segundas se sustituyen r con a , dónde r es el radio de una órbita circular y a semieje mayor de una órbita elíptica. Por ejemplo:

Tercera ley de Kepler para órbitas circulares : T 2 = 4 π 2 GRAMO METRO r 3 ,

Tercera ley de Kepler para órbitas elípticas : T 2 = 4 π 2 GRAMO METRO a 3 ,

o

Energía mecánica de un satélite en órbita circular: mi = − GRAMO METRO metro 2 r ,

Energía mecánica de un satélite en órbita elíptica: mi = − GRAMO METRO metro 2 a .

Tal sustitución es muy conveniente pero también parece demasiado fácil. Me pregunto: ¿cómo puedes justificarlo? ¿Siempre tienes que probar todo y siempre sucede, que puedes intercambiar esos valores, o tal vez es posible justificarlo con un solo reclamo?

Respuestas (1)

Bueno, un círculo es un caso especial de una elipse, así que si algo es cierto de una elipse general, será cierto de un círculo.

Para resolver las reglas de las elipses, el cálculo suele ser un poco más complicado que lo que ve en su clase de introducción estándar, por lo que el caso real y general generalmente se reserva para la mecánica clásica de segundo año, donde básicamente resuelve a → = − GRAMO METRO X → | X → | 3 para X → en el caso general.

Eso significa que de una fórmula para órbitas elípticas siempre puedo inferir la fórmula para órbitas circulares. ¿Lo contrario también es siempre cierto? Si no, ¿podría dar un ejemplo?
@ hm1912 todos los círculos son elipses, pero no todas las elipses son círculos.
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