Velocidad de un objeto que sufre una aceleración homogénea

Question

Velocidad de un objeto que sufre una aceleración homogénea

Sidharth Ghoshal

Así que estaba considerando el siguiente problema dentro del contexto de la Relatividad Especial:

Dado un objeto O, con velocidad inicial v, experimentando una aceleración constante a razón de a, quiero expresar la velocidad como una función del tiempo.

Así que de la mecánica newtoniana:

velocidad (S) = velocidad inicial (v) + aceleración*tiempo (a*t)

Sin embargo, esto no tiene sentido en el contexto de la relatividad especial, ya que sugiere que, dada una aceleración particular y el tiempo suficiente, es posible superar la velocidad de la luz.

Lo que me di cuenta de que necesitaba era un mapeo de la velocidad newtoniana a su equivalente relativista especial. Que derivé de la siguiente manera:

Erel cinético = $m_0*c^2/(1 - v_{\text{rel}}^2/c^2)^{1/2} - m_0*c^2$

Energía cinética = $1/2 m_0 v_{\text{newt}}^2$

Dónde $v_\text{rel}$ = velocidad relativista, $v_{\text{newt}}$ = velocidad newtoniana, $m_0$ = masa en reposo, $c$ = velocidad de la luz.

Igualando ambos entre sí y dividiendo por $m_0$ Encontré eso:

\frac{C^{2}}{{(1 - \frac{v_{real}^{2}}{C^{2}})}^{\frac{1}{2}}} - C^{2} = \frac{1}{2} v_{tritón}^{2}

$\frac{c^2}{\left(1 - \frac{v_{\text{rel}}^2}{c^2}\right)^{\frac{1}{2}}} - c^2 = \frac{1}{2} v_{\text{newt}}^2$

agregando $c^2$ a ambos lados y elevando a la potencia -1 encuentro:

\frac{{(1 - \frac{v r mi {yo}^{2}}{C^{2}})}^{\frac{1}{2}}}{C^{2}} = \frac{1}{C^{2} + 1 / 2 v_{tritón}^{2}}

$\frac{\left(1 - \frac{vrel^2}{c^2}\right)^{\frac{1}{2}}}{c^2} = \frac{1}{c^2 + 1/2 v_{\text{newt}}^2}$

multiplicando ambos lados por c^2, elevando al cuadrado ambos lados, restando 1, multiplicando por -1 y sacando la raíz cuadrada que ahora tengo:

v_{real} = C \cdot {(1 - \frac{C^{2}}{C^{2} + 1 / 2 v_{tritón}^{2}})}^{\frac{1}{2}}

$v_{\text{rel}} = c\cdot \left(1 - \frac{c^2}{c^2 + 1/2 v_{\text{newt}}^2}\right)^{\frac{1}{2}}$

Entonces, dada una velocidad de un problema newtoniano, por ejemplo: 5 m/s, puedo convertirla en su energía equivalente en relatividad especial a través de esta fórmula. Tenga en cuenta que a medida que la velocidad newtoniana tiende a infinito, la velocidad relativista se aproxima a c y en 0 ambas cantidades son 0.

Dado este marco, sé de hecho desde antes que la velocidad newtoniana se da como:

v(inicial) + at o usando nuestras unidades previamente definidas: v + at.

Por lo tanto, la velocidad relativista se puede expresar como:

v_{real} = C \cdot {(1 - \frac{C^{2}}{C^{2} + 1 / 2 (v + a t)^{2}})}^{\frac{1}{2}}

$v_{\text{rel}} = c \cdot \left(1 - \frac{c^2}{c^2 + 1/2(v + at)^2}\right)^{\frac{1}{2}}$

¿Es esto correcto?

Lagerbaer

Hola, me he tomado la libertad de escribir tus ecuaciones matemáticas usando LaTeX.

Respuestas (2)

Velocidad de un objeto que sufre una aceleración homogénea

Hola, me he tomado la libertad de escribir tus ecuaciones matemáticas usando LaTeX.

púlsar · Answer 1

En relatividad especial, la aceleración adecuada se define como

a = \frac{d tu}{d t},

$a = \frac{du}{dt},$ dónde

tu = \frac{d X}{d τ} = v \frac{d t}{d τ}

$u = \frac{dx}{d\tau} = v\frac{dt}{d\tau}$ es la velocidad adecuada y

d τ = d t \sqrt{1 - v^{2} / C^{2}}

$d\tau = dt\sqrt{1-v^2/c^2}$ es el momento adecuado . Entonces

\frac{d}{d t} (\frac{v}{\sqrt{1 - v^{2} / C^{2}}}) = a .

$\frac{d}{dt}\left(\frac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right) = a.$ Si integramos esto en un intervalo de tiempo

[0, t]

$[0,t]$ , obtenemos, si

a

$a$ es constante,

\frac{v}{\sqrt{1 - v^{2} / C^{2}}} - \frac{v_{0}}{\sqrt{1 - v_{0}^{2} / C^{2}}} = a t,

$\frac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} - \frac{v_0}{\sqrt{1-v_0^2/c^2}} = at,$ con

v_{0}

$v_0$ la velocidad inicial. Si definimos la constante

w_{0} = \frac{v_{0}}{\sqrt{1 - v_{0}^{2} / C^{2}}},

$w_0 = \frac{v_0}{\sqrt{1-v_0^2/c^2}},$ entonces

v^{2} = (1 - v^{2} / C^{2}) (a t + w_{0})^{2},

$v^2 = (1 - v^2/c^2)(at+w_0)^2,$ para que finalmente consigamos

v (t) = \frac{a t + w_{0}}{\sqrt{1 + (a t + w_{0})^{2} / C^{2}}} .

$v(t) = \frac{at+w_0}{\sqrt{1+(at+w_0)^2/c^2}}.$

¿Por qué la aceleración adecuada se define como $\frac{du}{dt}$ y no $\frac{du}{d\tau}$ ?

alfredo centauro · Answer 2

En el contexto de la relatividad especial, debe tener cuidado con las restricciones como "suponer una aceleración constante" sin más calificación porque, así como es necesario distinguir entre el tiempo propio y el tiempo coordinado, se debe distinguir entre la aceleración adecuada ( aceleración medido por un acelerómetro) y coordenada aceleración , $\ddot x$ .

La aceleración propia, como el tiempo propio, es invariante respecto al marco, mientras que la aceleración coordinada no lo es.

Es perfectamente aceptable especificar una aceleración adecuada constante pero, como notó, especificar una aceleración de coordenadas constante es inconsistente con la mecánica relativista.

La solución de aceleración propia constante es bien conocida :

Un problema sencillo es resolver el movimiento de un cuerpo que acelera constantemente. ¿Qué quiere decir esto? No queremos decir que su aceleración medida por un observador inercial sea constante. Queremos decir que se mueve de modo que la aceleración medida en un marco inercial que viaja a la misma velocidad instantánea que el objeto es la misma en cualquier momento. Si fuera un cohete y estuvieras a bordo, experimentarías una fuerza G constante. Este problema se puede resolver de varias maneras. Una es usar aceleración de cuatro vectores a lo largo de su línea de tiempo que debe tener una magnitud constante. Alternativamente, el objeto pasa constantemente de un marco de inercia a otro de tal manera que su cambio de velocidad en un intervalo de tiempo fijo visto como un impulso de Lorentz es siempre el mismo.
  v = c tanh(r/c)
De aquí derivamos la ecuación
  v = c tanh(aT/c)

Velocidad de un objeto que sufre una aceleración homogénea

Sidharth Ghoshal

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